自动控制原理
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52 分钟

自动控制原理

第一章 绪论

什么是自动控制

在没有人直接参与的情况下，利用外加的设备或者装置（控制装置或控制器），使机器、设备或生产过程（受控对象）的某个工作状态或参数（被控量）自动地按照预定的规律进行。

开环控制系统

输入信号 -> 控制器 -> 执行器 -> 被控对象 -> 输出信号

  • 控制器与被控对象之间只有正向的控制作用
  • 输入输出之间没有反馈回路
  • 结构简单，没有抗干扰能力

闭环控制系统

输入信号 -> 控制器 -> 执行器 -> 被控对象 -> 输出信号
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---------检测和变松元件--------

  • 控制器
  • 被控对象
  • 反馈环节
  • 比较环节

自动控制系统中的变量

  • r(t)：参考输入（输入量、给定量）
  • c(t)：被控制量输出量、被控量、受控量）
  • u(t)：控制量
  • b(t)：反馈量
  • e(t)：误差（输入端误差），e(t) = r(t) − b(t)
  • d(t)：扰动量（对输出量产生不利影响的物理量：不可预测）

闭环（反馈）控制

把受控对象的被控制量反馈到一个比较环节，与参考输入进行比 较，得到误差量；控制器对误差进行运算处理，得到控制量，控 制量经过功率放大，或经过执行机构转换为合适的物理量，去控 制受控对象。此控制方法称为闭环控制；相应的系统称为闭环控 制系统，亦称反馈控制系统。

自动控制系统的分类

  • 线性和非线性
  • 时变和时不变
  • 恒值控制系统和随动控制系统
  • 连续控制系统和离散控制系统
  • 机电控制系统、液压控制系统、气动控制系统和生物控制系统等

控制系统的性能指标

稳定性

当扰动撤离后，系统可以自动回到原有的平衡状态

响应速度

其瞬态响应具有一定的快速性和平稳性

稳态精度

通常用稳态误差表示

第二章 控制系统的数学模型

传递函数

传递函数的定义

线性时不变系统，在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量 的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数（系统函数、Transfer Function、tf）。

零初始条件：
c(^-) = c'(0^-) = \cdots = c^{(n)}(0^-) = 0，r(0^-) = r'(0^-) = \cdots = r^{(n)}(0^-) = 0

关于传递函数的几点说明：

  • 只适用于 LTI
  • 零初始条件下（或关于平衡态的偏差变量为 0 时，必要条 件）
  • 与输入输出的（具体形式及大小）无关
  • 是系统的外部（端部）描述
  • O(N(s)) ≤ O(D(s))
  • D(s)：特征多项式；D(s) = 0：特征方程

传递函数的作用

传递函数是控制系统的数学模型，通过传递函数可以研究系统的性能。

传递函数的性质

  • 传递函数是s的有理真分式，分母的阶数n大于等于分子的阶数m

  • 传递函数反应系统本身的固有特性，与外界无关

  • 传递函数与微分方程相联系

  • 传递函数的拉氏反变换即位系统的冲激响应

    控制系统中的典型环节的传递函数

  • 比例环节：K

  • 积分环节：\frac{1}{s}

  • 微分环节：s

  • 惯性环节：\frac{1}{Ts + 1}

  • 振荡环节：\frac{w_n^2}{s^2 + 2\xi w_ns + w_n^2}

  • 延迟环节：e^{-\tau s}

系统框图及其等效变换

串联连接

G = G1G2

并联连接

G = (G1 + G2)

负反馈连接

1783092909071.png

\begin{aligned}
E(s) &= R(s) - B(s)\\
B(s) &= C(s)H(s) \\
C(s) &= E(s)G(s)
\end{aligned}

消去中间变量

\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{G(s)}{1 - G(s)H(s)}

引出点

后移

1783094479722.png

1783094484229.png

前移

1783094599191.png

1783094605621.png

相加点

后移

1783094611660.png

1783094616221.png

前移

1783094620808.png

1783094624705.png

比较点之间可以跨过
比较点和引出点之间不可以跨过

控制系统的传递函数

开环传递函数

系统的反馈量B(s)与误差信号E(s)的比值

前向通路传递函数

系统的输出量C(s)与误差信号E(s)的比值

传递函数的标准型

首1标准型

G(s) = \frac{k^*\Pi (s-z)}{\Pi (s-p)}

k^*为根轨迹增益

尾1标准型

G(s) = \frac{k \Pi (\tau s + 1)}{s^v \Pi (Ts + 1)}

k为开环增益

信号流图和梅森公式

信号流图

由节点、支路和输入输出节点构成

前向通路

从输入节点到输出节点，沿着信号流动方向且与其他节点只相交一次

回路

从一个节点出发，沿着信号流动方向，又回到该节点且与其他节点只相交一次

不接触回路

没有公共节点的回路

梅森公式

梅森公式

T = \frac{1}{\Delta}\sum P_k \Delta_k

其中

  • T为系统的总增益
  • P_k为第k条前向通路的增益或传输
  • \Delta_k为特征式在第 k 条前向通路的余子式
  • \Delta为信号流图的特征式
\Delta = 1 - \sum L_n + \sum L_mL_q - \sum L_rL_sL_t

其中

  • \sum L_n为所有单回路的回路增益之和
  • \sum L_mL_q为所有两个不接触回路的增益乘积之和
  • \sum L_rL_sL_t为所有三个不接触回路的增益乘积之和

控制系统的反馈特性

  • 反馈能减小参数变化对系统输出的影响
  • 反馈能加快系统的瞬态响应
  • 反馈能减小或消除干扰对系统输出的影响

第三章 控制系统的时域分析

系统的时域响应

系统在输入信号作用下，其输出随时间的变化过程，称为系统的 时域响应

  • 瞬态响应（反映动态性能）
  • 稳态响应（反映稳态性能）

二阶系统的时域响应

二阶系统的标准形式

\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{w_n^2}{s^2 + 2\zeta w_n^2s + w_n^2}

其中

  • \zeta为系统的阻尼比
  • w_n为系统的无阻尼自然频率

特征方程为

s^2 + 2\zeta w_ns + w_n^2 = 0

闭环极点为

s_{1,2} = -\zeta w_n \pm w_n \sqrt{\zeta^2 - 1}

1783096903277.png

无阻尼二阶系统(\zeta = 0)

C(s) = (\frac{w_n^2}{s^2 + w_n^2})(\frac{1}{s})
c(t) = (1 - cosw_nt)u(t)

欠阻尼二阶系统(0 < \zeta < 1)

s_{1, 2} = -\zeta w_n \pm jw_n \sqrt{1 - \zeta^2} = -\zeta w_n \pm j w_d

其中w_d = w_n\sqrt{1 - \zeta^2}称为系统的阻尼自然频率

c(t) = 1 - \frac{e^{-\zeta w_n t}}{\sqrt{1 - \zeta^2}}sin(w_d t + \beta)
\beta = arctan\frac{\sqrt{1 - \zeta^2}}{\zeta}

临界阻尼二阶系统(\zeta = 1)

s_{1, 2} = -\omega_n
c(t) = (1 - (1 + w_n t)e^{-w_n t})u(t)

过阻尼二阶系统(\zeta > 1)

s_{1, 2} = -\zeta w_n \pm w_n \sqrt{\zeta^2 - 1}

1783097687352.png

控制系统的性能指标

上升时间

被控制量c(t)首次由零值上升到其稳态值所需的时间

c(t_r) = 1 = 1 - \frac{e^{-\zeta w_n t}}{\sqrt{1 - \zeta^2}}sin(w_d t + \beta)
t_r = \frac{\pi - \beta}{\omega_d}

峰值时间

瞬态响应第一次出现峰值的时间称为峰值时间

\frac{dc(t)}{dt} = 0
t_p = \frac{\pi}{\omega_d}

超调量M_p

超调量是描述系统相对稳定性的一个动态指标，通常用百分数表示

M_p = \frac{c(t_p) - c(\infty)}{c(\infty)} = c(t_p) - 1
M_p = e^{-\frac{\zeta \pi}{\sqrt{1 - \zeta^2}}}

调整时间t_s

阶跃响应曲线开始进入偏离稳态值\pm \Delta的误差范围（一般\Delta取0.02或0.05）

\Delta = \frac{e^{-\zeta w_n t_s}}{\sqrt{1 - \zeta^2}}
t_s = \frac{1}{\zeta \omega_n}(ln(\frac{1}{\Delta} + ln\frac{1}{\sqrt{1 - \zeta^2}}))

当\zeta较小时，可使用近似

  • 5\%误差带：t_s = \frac{3}{\zeta \omega_n} = 3\tau
  • 2\%误差带：t_s = \frac{4}{\zeta \omega_n} = 4\tau

稳态误差e_{ss}

系统的参考输入和输出之间的误差。

阶跃信号下恒有e_{ss} = 0

斜坡响应

E(s) = \frac{R(s)}{ 1 + G(s)} = \frac{s(s + 2\zeta \omega_n)}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n s^2}\frac{1}{s^2}
e_ss = \lim_{s \rightarrow 0} sE(s) = \frac{2\zeta}{\omega_n}

最佳阻尼比

\zeta = \frac{\sqrt{2}}{2} = 0.707, \beta = 45^\circ, M_p = e^{-\pi} = 4.3\%

常用公式（欠阻尼系统）

\zeta = \frac{1}{{1 -({\frac{\pi}{lnM_p}})^2}}
\zeta = cos(arctan(\frac{\pi}{-lnM_p}))
\zeta = cos\beta
\beta = arctan\frac{\sqrt{1 - \zeta^2}}{\zeta} = arccos\zeta

高阶系统的时域响应

\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{K\Pi(s+z_i)}{\Pi (s + p_j)}

设输入为单位阶跃函数

C(s) = \frac{K \Pi_{i=1}^{m}(s + z_i)}{s\Pi_{j=1}^{q}(s + p_j)\Pi_{k=1}^{r} (s^2 + 2\zeta_k\omega_{nk}s + \omega_{nk}^2)}

其中n = q + 2r，q为实数极点的个数，r为复数极点的对数

对于高阶系统

  • 其瞬态分量由一阶和二阶的时域响应函数组成
  • 如果所有闭环极点都有负实部，则该系统稳定。稳态时系统的被控制量仅与控制量有关
  • 对于稳定高阶系统，其瞬态响应还和其零点有关

闭环主导极点

如果一个系统有一个实数极点（或者一对复数极点）距离虚轴最近，且其附近没有闭环零点，而且其他闭环极点与虚轴的距离都比这个（这对）极点与虚轴的距离大5倍以上，则次系统的瞬态响应可近似地视为由这个（这对）极点所产生。

高阶系统可以近似地用一对主导极点所描述的二阶系统去表征。

偶极子

如果闭环系统的一个零点与一个极点彼此十分靠近，称这样的闭环零极点为偶极子。偶极子有实数偶极子和复数偶极子。复数偶极子必然共轭出现。不难证明，只要偶极子十分不靠近坐标原点且非主导极点，则他们对系统瞬态响应的影响就很小。

线性定常系统的稳定性

系统稳定的充要条件

系统的稳定性与脉冲响应函数的收敛性是相一致的。

系统稳定的必要条件

系统特征方程中s各次项的系数均为正值，且无缺项存在。

劳斯稳定判据

设系统的特征方程式为

a_0s^n + a_1s^{n-1} + \cdots + a_{n-1}s + a_n = 0

将上式中的各项系数，按下面的格式排成劳斯表

\renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{array}{c|ccccc} s^n & a_0 & a_{2} & a_{4} & a_{6} & \cdots \\ s^{n-1} & a_{1} & a_{3} & a_{5} & a_{7} & \cdots \\ s^{n-2} & b_1 & b_2 & b_3 & b_4 & \cdots \\ s^{n-3} & c_1 & c_2 & c_3 & c_4 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\ s^2 & d_1 & d_2 & 0 & 0 & \cdots \\ s^1 & e_1 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ s^0 & f_1 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ \end{array}
  • 如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则表示该特征方程式的根都在s的左半平面，响应的系统是稳定的。
  • 如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化次数等于该特征方程式的根在s有半平面上的个数，响应的系统不稳定。

给定输入下的稳态误差

阶跃信号输入

输入r(t) = R_0

e_{ss} = \frac{R_0}{1 + K_p}

其中

  • K_p = \lim_{s \rightarrow 0}G(s)H(s)，称为静态位置误差系数

  • 0型系统e_{ss} = \frac{R_0}{1 + K_p}

  • I、II型系统e_{ss} = 0

斜坡信号输入

输入r(t) = v_0 t

ee_{ss} = \frac{v_0}{K_v}

其中

  • K_v = \lim_{s \rightarrow 0}sG(s)H(s)，称为静态速度误差系数

  • 0型系统e_{ss} = \infty

  • I型系统e_{ss} = \frac{v_0}{K}

  • II型系统e_{ss} = 0

抛物线信号输入

输入r(t) = \frac{1}{2}a_0t^2

e_{ss} = \frac{a_0}{K_a}

  • K_a = \lim_{s \rightarrow 0}s^2G(s)H(s)，称为静态加速度误差系数

  • 0、I型系统e_{ss} = \infty

  • II型系统e_{ss} = \frac{a_0}{K}

第四章 根轨迹法

根轨迹的基本概念

控制系统开环传递函数的增益 K: 0 \rightarrow \infty 时，闭环极点在复平面上移动的轨迹。

G(s)H(s) = \frac{K\prod (s + z_j)}{\prod (s + p_i)}

根轨迹的幅值条件与相角条件

令

\begin{aligned}
s + z_i &= \rho_i e^{j\phi_i}, i = 1, 2, ..., m \\
s + p_l &= \rho_l e^{j\theta_l}, l = 1, 2, ..., n \\
\end{aligned}

则幅值条件与相角条件分别为

K\frac{\prod \rho_i}{\Pi \gamma_j} = 1
\sum \phi_i - \sum \theta_l = (2 k + 1)\pi, k =0, \pm 1, \pm 2, ...
  • 因 \angle K = 0，相角条件与 K 无关
  • 满足相角条件的点 s，一定对应着一个满足幅值条件的 K， 反之不然
  • 根轨迹就是s平面上，满足相角条件的点

根轨迹的绘制法则

不难得知，系统的开环增益和根轨迹增益满足如下关系

K = \frac{k^* \prod z_i}{\prod p_l}

系统的闭环特征方程可以表示为

\frac{k^* \prod (s + z_i)}{\prod (s + p_l)} = -1

上式表示了系统的闭环极点与其开环零极点之间的关系。

规则1 根轨迹的对称性

根轨迹关于实轴对称

规则2 根轨迹的分支数及其起点和终点

系统根轨迹分支的总数为n条。根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。如果n > m，则有n - m条轨迹终止于无穷远处。

规则3 根轨迹在实轴上的分布

实轴上的某一区域，若其有方开环极点和零点数之和为奇数，则该区域必是根轨迹

规则4 根轨迹的渐近线

倾角

\theta = \frac{\mp (2k + 1)\pi}{n - m}, k =0, 1, 2, \cdots, n - m - 1

交点

-\sigma_A = \frac{\sum (-p_l) - \sum(-z_i)}{n - m}

规则5 根轨迹的分离点和会合点

把开环传递函数写作

G(s)H(s) = K\frac{B(s)}{A(s)}

式

A(s)B'(s) - A'(s)B(s) = 0

可用于确定分离点或会合点

式

\frac{dK}{ds} = 0

也可以用于确定分离点或汇合点

只有根轨迹上的重根才是分离点或汇合点。

规则6 根轨迹的出射角和入射角

  • 出射角：从极点出发，切线与实轴正方向的夹角
  • 入射角：从零点出发，切线与实轴正方向的夹角
\theta_p = \mp(2k + 1)\pi + \sum \phi_i-\sum \theta_j
\phi_z = \pm(2k + 1)\pi + \sum \theta_j - \sum \phi_i

实轴上的零极点不考虑。

规则7 根轨迹与虚轴的交点

根轨迹与虚轴相交说明闭环特征方程存在纯虚根，系统处于等幅震荡状态。

可以直接带入s = jw计算，也可以使用劳斯判据计算（奇数行出现全零行）。

规则8 特征方程式根之和与根之积

\sum (-p_l) == \sum (-p_{cj})
\prod (-p_{cj}) = \prod (-p_l) + K\prod (z_i)

韦达定理

as^3 + bs^2 + cs + d = 0\\

则

\begin{aligned}
s_1 + s_2 + s_3 = \frac{-b}{a}\\
s_1s_2s_3 = \frac{-d}{a}\\
\end{aligned}

第五章 频率响应法

频率特性是在稳态情况下，系统对不同频率的正弦输入信号的响应特性。频率特性包括幅频特性和相频特性两个方面。

由传递函数确定频率响应

令 s=j\omega，可由传递函数得到频率特性：

G(j\omega)=|G(j\omega)|e^{j\varphi(\omega)}

其中：

  • |G(j\omega)| 为幅频特性
  • \varphi(\omega) 为相频特性

若

G(s)=K\frac{\prod(s+z_i)}{\prod(s+p_i)}

则

G(j\omega)=K\frac{\prod(j\omega+z_i)}{\prod(j\omega+p_i)}

幅值和相角分别为：

|G(j\omega)|=K\frac{\prod|j\omega+z_i|}{\prod|j\omega+p_i|}
\varphi(\omega)=\sum \angle(j\omega+z_i)-\sum\angle(j\omega+p_i)

对数频率特性

对数幅频特性定义为：

L(\omega)=20lg|G(j\omega)|

单位为 dB。对数相频特性仍为 \varphi(\omega)。

使用对数频率特性的优点：

  • 乘除关系可以转化为加减关系
  • 频率范围很宽时便于作图
  • 可以用渐近线近似画 Bode 图

常见环节的 Bode 图

比例环节

G(s)=K
L(\omega)=20lgK,\quad \varphi(\omega)=0^\circ

若 K<0，则相角附加 -180^\circ。

积分环节

G(s)=\frac{1}{s}
L(\omega)=-20lg\omega,\quad \varphi(\omega)=-90^\circ

每增加一个积分环节，幅频斜率减少 20dB/dec，相角减少 90^\circ。

微分环节

G(s)=s
L(\omega)=20lg\omega,\quad \varphi(\omega)=90^\circ

每增加一个微分环节，幅频斜率增加 20dB/dec，相角增加 90^\circ。

惯性环节

G(s)=\frac{1}{Ts+1}

转折频率为：

\omega_1=\frac{1}{T}
L(\omega)=-20lg\sqrt{1+\left(\frac{\omega}{\omega_1}\right)^2}
\varphi(\omega)=-arctan\frac{\omega}{\omega_1}

渐近线：

  • \omega<\omega_1 时，L(\omega)\approx0dB
  • \omega>\omega_1 时，斜率为 -20dB/dec
  • \omega=\omega_1 时，相角为 -45^\circ

一阶微分环节

G(s)=Ts+1

转折频率为：

\omega_1=\frac{1}{T}
L(\omega)=20lg\sqrt{1+\left(\frac{\omega}{\omega_1}\right)^2}
\varphi(\omega)=arctan\frac{\omega}{\omega_1}

渐近线：

  • \omega<\omega_1 时，L(\omega)\approx0dB
  • \omega>\omega_1 时，斜率为 +20dB/dec
  • \omega=\omega_1 时，相角为 +45^\circ

振荡环节

G(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}
L(\omega)=-20lg\sqrt{\left(1-\frac{\omega^2}{\omega_n^2}\right)^2+\left(2\zeta\frac{\omega}{\omega_n}\right)^2}
\varphi(\omega)=-arctan\frac{2\zeta\omega/\omega_n}{1-\omega^2/\omega_n^2}

渐近线：

  • \omega\ll\omega_n 时，L(\omega)\approx0dB
  • \omega\gg\omega_n 时，斜率为 -40dB/dec
  • 相角由 0^\circ 逐渐变为 -180^\circ

谐振频率：

\omega_r=\omega_n\sqrt{1-2\zeta^2}

谐振峰值：

M_r=\frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}},\quad 0<\zeta<0.707

当 \zeta\geq0.707 时，一般无明显谐振峰。

纯滞后环节

G(s)=e^{-\tau s}
|G(j\omega)|=1,\quad L(\omega)=0dB
\varphi(\omega)=-\tau\omega

纯滞后环节不改变幅值，只增加相角滞后，会降低系统稳定性。

Bode 图绘制方法

先把开环传递函数化为尾1标准型：

G(s)H(s)=K\frac{\prod(\tau_i s+1)}{s^v\prod(T_j s+1)}

绘制步骤：

  1. 写出 20lgK
  2. 根据积分环节个数 v 确定低频段斜率 -20v dB/dec
  3. 求各转折频率 \omega=\frac{1}{T_j}、\omega=\frac{1}{\tau_i}
  4. 按转折频率从小到大改变幅频斜率
  5. 惯性环节使斜率减少 20dB/dec
  6. 一阶微分环节使斜率增加 20dB/dec
  7. 二阶振荡环节使斜率减少 40dB/dec
  8. 叠加各环节相角，画相频曲线

由 Bode 图求传递函数

  1. 由低频段斜率判断系统型别
  2. 由低频段幅值确定开环增益 K
  3. 由斜率变化位置确定转折频率
  4. 斜率每下降 20dB/dec，对应一个惯性环节
  5. 斜率每上升 20dB/dec，对应一个一阶微分环节
  6. 写成尾1标准型

若低频段斜率为：

  • 0dB/dec：0 型系统
  • -20dB/dec：I 型系统
  • -40dB/dec：II 型系统

奈奎斯特图

奈奎斯特图是开环频率特性 G(j\omega)H(j\omega) 在复平面上的轨迹。

绘制基本步骤：

  1. 求 \omega\rightarrow0^+ 时的起点
  2. 求 \omega\rightarrow\infty 时的终点
  3. 求与实轴、虚轴的交点
  4. 判断随 \omega 增大时曲线的走向
  5. 利用共轭对称性画出 \omega<0 的部分

常见环节的 Nyquist 特点：

  • 比例环节 K：实轴上一个点
  • 惯性环节 \frac{1}{Ts+1}：从 (1,j0) 出发，趋向原点，位于第四象限
  • 积分环节 \frac{1}{s}：沿负虚轴从无穷远趋向原点
  • 一阶微分环节 Ts+1：从 (1,j0) 出发，沿第一象限远离
  • 二阶振荡环节：相角由 0^\circ 逐渐变到 -180^\circ

奈奎斯特稳定判据

辐角原理

设除了有限个奇点外，F(s) 是一个解析函数。如果 s 平面上的闭合曲线 C_s 以顺时针方向包围了 F(s) 的 Z 个零点和 P 个极点，且此曲线不通过 F(s) 的任何极点和零点，则其在 F(s) 平面上的映射曲线 C_F 将围绕坐标原点旋转 N 周，其中：

N=Z-P

若 N>0，表示顺时针旋转；若 N<0，表示逆时针旋转。

稳定判据

闭环特征方程为：

1+G(s)H(s)=0

令：

F(s)=1+G(s)H(s)

设：

  • P 为开环传递函数 G(s)H(s) 在右半平面的极点数
  • Z 为闭环特征方程在右半平面的根数，即闭环不稳定极点数
  • N 为 Nyquist 曲线顺时针包围 (-1,j0) 点的圈数

则：

Z=P-N

闭环稳定要求 Z=0，因此：

N=P

即 Nyquist 曲线顺时针包围 (-1,j0) 点的圈数必须等于开环右半平面极点数。

常见情况：

  • 若开环稳定，即 P=0，闭环稳定要求 Nyquist 曲线不包围 (-1,j0) 点
  • 若开环有 P 个右半平面极点，闭环稳定要求 Nyquist 曲线顺时针包围 (-1,j0) 点 P 圈
  • 若 Nyquist 曲线穿过 (-1,j0) 点，则闭环系统临界稳定

含积分环节的处理

若开环传递函数含有积分环节，则 s=0 是开环极点，Nyquist 路径需要在原点附近作小半圆绕开。

若有 v 个积分环节：

G(s)H(s)\approx\frac{K}{s^v}

则当 \omega\rightarrow0^+ 时：

|G(j\omega)H(j\omega)|\rightarrow\infty
\varphi(\omega)\rightarrow-v\cdot90^\circ

做题时通常先判断低频端轨迹从无穷远处出发的方向，再补足绕开原点的小圆弧映射。

判断闭环稳定的步骤

  1. 写出开环传递函数 G(s)H(s)
  2. 判断开环右半平面极点数 P
  3. 画出或分析 Nyquist 曲线
  4. 数出曲线顺时针包围 (-1,j0) 点的圈数 N
  5. 由 Z=P-N 判断闭环右半平面极点数
  6. 若 Z=0，闭环稳定；若 Z>0，闭环不稳定

相对稳定性分析

对于开环稳定的系统，闭环系统的相对稳定性可通过开环频率特性曲线与 (-1,j0) 点的接近程度来判断。

剪切频率

当

|G(j\omega_c)H(j\omega_c)|=1

或

L(\omega_c)=0dB

时，对应的频率称为剪切频率或幅值穿越频率，记为 \omega_c。

相角穿越频率

当

\varphi(\omega_g)=-180^\circ

时，对应的频率称为相角穿越频率，记为 \omega_g。

增益裕量

当开环频率特性的相角 \varphi(\omega_g)=-180^\circ 时，其幅值的倒数称为增益裕量：

K_g=\frac{1}{|G(j\omega_g)H(j\omega_g)|}

用分贝表示：

K_g(dB)=-20lg|G(j\omega_g)H(j\omega_g)|

若 K_g>1 或 K_g(dB)>0，说明系统有正的增益裕量。

相位裕量

\gamma=180^\circ+\varphi(\omega_c)

其中 \varphi(\omega_c) 为开环频率特性在剪切频率处的相位。

若 \gamma>0，说明系统有正的相位裕量。

工程上通常希望：

  • 相位裕量 \gamma 约为 30^\circ\sim60^\circ
  • 增益裕量 K_g 大于 1，常取 6dB 以上

相位裕量越大，系统相对稳定性越好，但响应通常变慢。相位裕量太小，系统容易振荡。

稳定裕量的计算步骤

  1. 由 L(\omega_c)=0dB 求剪切频率 \omega_c
  2. 计算 \varphi(\omega_c)，得到相位裕量 \gamma
  3. 由 \varphi(\omega_g)=-180^\circ 求相角穿越频率 \omega_g
  4. 计算 K_g=\frac{1}{|G(j\omega_g)H(j\omega_g)|}
  5. 判断 \gamma 和 K_g 是否满足稳定要求

闭环频域指标

对于典型二阶闭环系统：

\Phi(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}

谐振峰值：

M_r=\frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}},\quad 0<\zeta<0.707

谐振频率：

\omega_r=\omega_n\sqrt{1-2\zeta^2}

带宽频率 \omega_b 是闭环幅频特性下降到 0.707 倍低频幅值时对应的频率。

一般规律：

  • 带宽越大，响应速度越快
  • 谐振峰值越大，超调量越大，振荡越明显
  • 阻尼比越大，谐振峰值越小，响应越平稳

最小相位系统

如果系统的开环零点和极点全部位于左半平面，则称为最小相位系统。

最小相位系统的幅频特性和相频特性具有唯一对应关系。非最小相位系统常含有右半平面零点或纯滞后环节，在相同幅频特性下相角滞后更大，稳定性更差。

频域与时域性能的关系

  • 低频段主要反映稳态精度，低频增益越大，稳态误差通常越小
  • 中频段主要反映动态性能和相对稳定性
  • 高频段主要反映系统抗高频噪声能力，高频增益越低，抗噪声能力越强
  • 剪切频率越大，响应速度通常越快
  • 相位裕量越大，超调量通常越小，系统越平稳

常见题型

由传递函数画 Bode 图

  1. 化为尾1标准型
  2. 找出增益 K、积分个数 v、各转折频率
  3. 画低频渐近线
  4. 按转折频率逐段改变斜率
  5. 叠加各环节相角，画相频曲线

由 Bode 图求传递函数

  1. 由低频斜率判断积分环节个数
  2. 由低频幅值确定开环增益
  3. 由斜率变化位置确定转折频率
  4. 根据斜率变化写出各环节
  5. 写出尾1标准型传递函数

用 Nyquist 判据判断稳定性

  1. 求开环右半平面极点数 P
  2. 画或分析 Nyquist 曲线
  3. 数顺时针包围 (-1,j0) 点的圈数 N
  4. 计算 Z=P-N
  5. 若 Z=0，闭环稳定；否则闭环不稳定

求稳定裕量

  1. 由 L(\omega_c)=0dB 求 \omega_c
  2. 求 \gamma=180^\circ+\varphi(\omega_c)
  3. 由 \varphi(\omega_g)=-180^\circ 求 \omega_g
  4. 求 K_g=\frac{1}{|G(j\omega_g)H(j\omega_g)|}
  5. 根据 \gamma 和 K_g 判断相对稳定性

第六章 控制系统的校正

控制系统校正的基本概念

控制系统校正是指在原系统中加入适当的校正装置，使系统满足给定的性能指标。

常见性能指标包括：

  • 稳态性能：稳态误差、静态误差系数 K_p、K_v、K_a
  • 动态性能：超调量、调节时间、上升时间、阻尼比
  • 频域性能：剪切频率、相位裕量、增益裕量、带宽

校正的基本思想：

  • 提高低频增益，可以改善稳态精度
  • 改善中频段形状，可以提高相对稳定性和动态性能
  • 降低高频增益，可以增强抗噪声能力

校正方式

按校正装置在系统中的位置，可分为：

  • 串联校正：校正装置串联在前向通道中
  • 反馈校正：校正装置放在反馈通道或局部反馈中
  • 前馈校正：根据输入或扰动进行补偿
  • 复合校正：几种校正方式同时使用

工程和考试中最常见的是串联校正。

串联校正后的开环传递函数为：

G_c(s)G(s)H(s)

其中 G_c(s) 为校正装置传递函数。

超前校正

传递函数

超前校正装置常写为：

G_c(s)=K_c\frac{Ts+1}{\alpha Ts+1},\quad 0<\alpha<1

其零点为：

s=-\frac{1}{T}

其极点为：

s=-\frac{1}{\alpha T}

因为 0<\alpha<1，所以极点比零点更远离虚轴。

频率特性

G_c(j\omega)=K_c\frac{j\omega T+1}{j\omega\alpha T+1}

相角为：

\varphi_c(\omega)=arctan(\omega T)-arctan(\omega\alpha T)

最大超前相角：

\varphi_m=arcsin\frac{1-\alpha}{1+\alpha}

由最大超前相角求 \alpha：

\alpha=\frac{1-sin\varphi_m}{1+sin\varphi_m}

最大超前相角对应频率：

\omega_m=\frac{1}{T\sqrt{\alpha}}

在 \omega_m 处，校正装置的幅值为：

|G_c(j\omega_m)|=\frac{1}{\sqrt{\alpha}}

对应分贝值：

L_c(\omega_m)=10lg\frac{1}{\alpha}

作用

超前校正的主要作用：

  • 增大相位裕量
  • 提高剪切频率
  • 改善快速性
  • 减小超调量

缺点：

  • 高频增益增大，抗高频噪声能力变差
  • 对稳态精度改善不明显

适用场景

当系统稳态精度基本满足要求，但相位裕量不足、动态性能较差时，优先考虑超前校正。

基于 Bode 图的设计步骤

  1. 根据稳态误差要求确定开环增益 K
  2. 画出未校正系统的 Bode 图
  3. 求未校正系统的相位裕量 \gamma_0
  4. 根据指标确定所需相位裕量 \gamma
  5. 计算需要补偿的最大超前相角
\varphi_m=\gamma-\gamma_0+\varepsilon

其中 \varepsilon 为附加裕量，通常取 5^\circ\sim12^\circ。

  1. 由 \alpha=\frac{1-sin\varphi_m}{1+sin\varphi_m} 求 \alpha
  2. 在未校正幅频曲线上找到幅值为
-10lg\frac{1}{\alpha}

的频率，取为新的剪切频率 \omega_c'=\omega_m

  1. 由 \omega_m=\frac{1}{T\sqrt{\alpha}} 求 T
  2. 写出校正装置 G_c(s)=K_c\frac{Ts+1}{\alpha Ts+1}
  3. 验算相位裕量、增益裕量和稳态误差

滞后校正

传递函数

滞后校正装置常写为：

G_c(s)=K_c\frac{Ts+1}{\beta Ts+1},\quad \beta>1

其零点为：

s=-\frac{1}{T}

其极点为：

s=-\frac{1}{\beta T}

因为 \beta>1，所以极点比零点更靠近原点。

频率特性

相角为：

\varphi_c(\omega)=arctan(\omega T)-arctan(\omega\beta T)

其相角为负，表示相位滞后。

低频段：

G_c(j\omega)\approx K_c

高频段：

G_c(j\omega)\approx \frac{K_c}{\beta}

若取 K_c=\beta，则低频增益提高 \beta 倍，而高频增益基本不变。

作用

滞后校正的主要作用：

  • 提高低频增益，改善稳态精度
  • 降低剪切频率，提高相位裕量
  • 抑制高频噪声

缺点：

  • 响应速度变慢
  • 相角有一定滞后

适用场景

当系统动态性能基本可以接受，但稳态误差不满足要求，或需要提高相位裕量但不希望增大高频增益时，常使用滞后校正。

基于 Bode 图的设计步骤

  1. 根据稳态误差要求确定需要的开环增益 K
  2. 画出增益调整后的未校正系统 Bode 图
  3. 根据要求的相位裕量 \gamma，寻找新的剪切频率 \omega_c'

通常选择满足：

\varphi(\omega_c')=-180^\circ+\gamma+\varepsilon

其中 \varepsilon 通常取 5^\circ\sim12^\circ，用于补偿滞后校正带来的相角损失。

  1. 在 \omega_c' 处求未校正系统幅值 L(\omega_c')
  2. 令滞后校正装置在 \omega_c' 处提供约 -L(\omega_c') 的幅值衰减
20lg\beta=L(\omega_c')
  1. 求 \beta
  2. 选择滞后校正零点频率
\omega_z=\frac{1}{T}\approx \frac{\omega_c'}{10}
  1. 求极点频率
\omega_p=\frac{1}{\beta T}
  1. 写出校正装置
G_c(s)=\beta\frac{Ts+1}{\beta Ts+1}
  1. 验算稳态误差、相位裕量和剪切频率

滞后-超前校正

滞后-超前校正同时利用滞后校正改善稳态精度，利用超前校正改善动态性能。

常见形式为：

G_c(s)=K_c\frac{(T_1s+1)(T_2s+1)}{(\alpha T_1s+1)(\beta T_2s+1)}

其中：

0<\alpha<1,\quad \beta>1

超前部分：

\frac{T_1s+1}{\alpha T_1s+1}

滞后部分：

\frac{T_2s+1}{\beta T_2s+1}

作用

  • 超前部分增加相位裕量，提高响应速度
  • 滞后部分提高低频增益，改善稳态精度
  • 兼顾动态性能和稳态性能

适用场景

当单独使用超前校正不能满足稳态精度，或者单独使用滞后校正不能满足动态性能时，可采用滞后-超前校正。

设计思路

  1. 根据稳态误差要求确定低频增益
  2. 判断相位裕量是否满足要求
  3. 若相位裕量不足，设计超前部分补偿相位
  4. 若稳态精度不足，设计滞后部分提高低频增益
  5. 调整两个校正环节的转折频率，避免相互影响过大
  6. 最后统一验算稳定裕量和稳态误差

PID 校正

PID 控制器为：

G_c(s)=K_p+\frac{K_i}{s}+K_ds

也可写为：

G_c(s)=K_p\left(1+\frac{1}{T_is}+T_ds\right)

其中：

  • K_p 为比例系数
  • K_i 为积分系数
  • K_d 为微分系数
  • T_i 为积分时间常数
  • T_d 为微分时间常数

比例控制 P

作用：

  • 提高系统响应速度
  • 减小稳态误差

缺点：

  • K_p 过大时，系统容易振荡甚至不稳定
  • 不能彻底消除某些稳态误差

积分控制 I

作用：

  • 提高系统型别
  • 消除阶跃输入下的稳态误差

缺点：

  • 增加相位滞后
  • 降低系统稳定性
  • 可能使超调量增大

微分控制 D

作用：

  • 提前反映误差变化趋势
  • 增加阻尼
  • 改善动态性能

缺点：

  • 对高频噪声敏感
  • 通常不单独使用

PI 控制

G_c(s)=K_p\left(1+\frac{1}{T_is}\right)

作用：

  • 改善稳态精度
  • 可消除阶跃稳态误差

缺点：

  • 相位滞后增加，动态性能可能变差

PD 控制

G_c(s)=K_p(1+T_ds)

PD 控制本质上是比例-微分校正，也可看作一种超前校正。

作用：

  • 改善动态性能
  • 提高系统阻尼
  • 减小超调量
  • 增大相位裕量，提高系统相对稳定性

缺点：

  • 不能改善系统型别
  • 对噪声敏感
  • 理想微分环节在高频时增益无限增大，实际中难以直接实现

实际控制工程中，PD 控制器常采用带惯性滤波的形式：

G(s)=K\frac{1+T_ds}{1+\tau_ds}

其中通常要求：

T_d>\tau_d

采用该形式的原因：

  1. 理想 PD 控制器 K(1+T_ds) 含有纯微分环节，分子阶数高于分母阶数，物理上不易实现
  2. 纯微分会放大高频噪声，加入 1+\tau_ds 后可限制高频增益
  3. 当频率很高时，有
\lim_{s\rightarrow\infty}K\frac{1+T_ds}{1+\tau_ds}=K\frac{T_d}{\tau_d}

因此高频增益不再趋于无穷大。

要求 T_d>\tau_d 是为了保证该校正装置具有超前校正作用。其零点和极点分别为：

s=-\frac{1}{T_d},\quad s=-\frac{1}{\tau_d}

当 T_d>\tau_d 时：

\frac{1}{T_d}<\frac{1}{\tau_d}

所以零点比极点更靠近原点，能够提供正相角，使系统相位裕量增大，从而改善动态性能和稳定性。

PID 控制

作用：

  • 比例提高响应速度
  • 积分改善稳态精度
  • 微分改善动态性能

PID 适合需要同时兼顾稳态精度和动态性能的系统。

根轨迹法校正思想

根轨迹校正通过增加开环零点、极点改变闭环极点位置。

增加开环零点

增加开环零点通常会使根轨迹向左弯曲，有利于提高系统稳定性和响应速度。

增加开环极点

增加开环极点通常会使根轨迹向右弯曲，可能降低系统稳定性。

超前校正的根轨迹解释

超前校正增加一个零点和一个极点，且极点位于零点左侧。它提供正相角，使期望闭环极点满足根轨迹相角条件。

滞后校正的根轨迹解释

滞后校正的零点和极点都靠近原点，且极点更靠近原点。它主要改变低频增益，对主导闭环极点位置影响较小。

校正设计的一般步骤

  1. 明确性能指标：稳态误差、超调量、调节时间、相位裕量等
  2. 根据稳态误差要求确定系统型别和开环增益
  3. 分析未校正系统的稳定性和动态性能
  4. 判断采用超前、滞后还是滞后-超前校正
  5. 设计校正装置参数
  6. 写出校正后开环传递函数
  7. 验算稳态性能、动态性能和稳定裕量

校正方式选择

  • 稳态误差不满足：优先考虑增大低频增益、PI 或滞后校正
  • 相位裕量不足：优先考虑超前校正
  • 响应速度太慢：优先考虑超前校正或增大剪切频率
  • 超调量太大：提高阻尼比或增大相位裕量
  • 高频噪声明显：避免过强微分或过大高频增益，可考虑滞后校正
  • 稳态和动态都不满足：考虑滞后-超前校正或 PID

常见题型

判断校正类型

  1. 看稳态误差是否满足
  2. 看相位裕量是否满足
  3. 只缺动态性能，多用超前校正
  4. 只缺稳态精度，多用滞后校正或 PI
  5. 二者都缺，多用滞后-超前校正或 PID

设计超前校正

  1. 根据误差要求确定 K
  2. 求未校正相位裕量
  3. 计算所需最大超前相角
  4. 求 \alpha
  5. 确定新的剪切频率
  6. 求 T
  7. 写出 G_c(s) 并验算

设计滞后校正

  1. 根据误差要求确定 K
  2. 选择满足相位裕量的新剪切频率
  3. 求所需幅值衰减，确定 \beta
  4. 选择零点频率 \omega_z\approx\frac{\omega_c'}{10}
  5. 求极点频率 \omega_p=\frac{\omega_z}{\beta}
  6. 写出 G_c(s) 并验算

分析 PID 作用

  1. P：提高响应速度，减小误差，但过大会降低稳定性
  2. I：消除稳态误差，但降低稳定性
  3. D：改善动态性能，但放大噪声

第七章 简答题复习

简答题复习

本章用于考前快速背诵。答题时尽量按“定义、特点、作用、结论”的顺序组织语言，遇到比较题要分别说明优点、缺点和适用场景。

第一章 绪论

1. 什么是自动控制？

自动控制是指在没有人直接参与的情况下，利用控制装置使被控对象的某个工作状态或参数自动地按照预定规律变化。

答题要点：

  • 无人直接参与
  • 有控制装置或控制器
  • 使被控量按预定规律变化

2. 开环控制系统和闭环控制系统有什么区别？

开环控制系统没有反馈通道，控制作用只沿输入到输出的方向传递，结构简单，但抗干扰能力差。闭环控制系统把输出量反馈到输入端，与给定量比较形成误差信号，再根据误差进行控制，抗干扰能力强，控制精度较高，但结构较复杂。

3. 反馈控制的作用是什么？

反馈控制可以减小系统参数变化和外部扰动对输出的影响，提高控制精度，改善系统动态性能。但反馈也可能引起振荡，若设计不当会使系统不稳定。

4. 自动控制系统的基本性能要求有哪些？

自动控制系统通常要求稳定性、快速性和准确性。

  • 稳定性：扰动消失后系统能回到平衡状态
  • 快速性：系统响应速度快，过渡过程时间短
  • 准确性：稳态误差小，控制精度高

第二章 数学模型

5. 什么是传递函数？

传递函数是线性定常系统在零初始条件下，输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比。它只与系统本身结构和参数有关，与输入信号形式无关。

6. 传递函数有什么特点？

  • 只适用于线性定常系统
  • 在零初始条件下定义
  • 是系统的外部数学模型
  • 分母多项式决定系统特征方程
  • 传递函数的拉氏反变换是系统的脉冲响应

7. 什么是系统的特征方程？

闭环传递函数分母等于零所得方程称为系统特征方程。系统稳定性主要由特征方程的根决定，若所有闭环特征根都位于左半平面，则系统稳定。

8. 框图化简常用规则有哪些？

常用规则包括串联等效、并联等效、反馈等效、引出点移动和比较点移动。化简时要保持各变量之间的数学关系不变。

9. 梅森公式用于解决什么问题？

梅森公式用于由信号流图直接求系统总传递函数。它根据前向通路增益、回路增益、不接触回路以及余子式计算系统总增益。

第三章 时域分析

10. 什么是系统的稳定性？

系统稳定性是指系统在受到扰动后，扰动消失时能否恢复到原平衡状态。线性定常系统稳定的充要条件是所有闭环极点都位于复平面左半平面。

11. 劳斯稳定判据的作用是什么？

劳斯稳定判据可以在不直接求解特征方程根的情况下，判断系统稳定性，并确定右半平面特征根个数。若劳斯表第一列元素全为正且无符号变化，则系统稳定。

12. 二阶系统阻尼比对响应有什么影响？

阻尼比越小，系统响应越快，但振荡和超调越明显；阻尼比越大，响应越平稳，但速度变慢。工程上常取阻尼比约为 0.707，以兼顾快速性和平稳性。

13. 二阶系统的动态性能指标有哪些？

常见动态性能指标包括上升时间、峰值时间、最大超调量和调节时间。它们分别反映系统响应速度、峰值出现时间、振荡强弱和进入稳态误差带所需时间。

14. 什么是主导极点？

主导极点是指距离虚轴最近、对系统瞬态响应影响最大的闭环极点。如果其他极点比主导极点远离虚轴很多，则高阶系统可近似为由主导极点决定的低阶系统。

15. 什么是稳态误差？

稳态误差是系统进入稳态后，给定输入与实际输出之间的差值。它反映系统控制准确性，与系统型别、开环增益和输入信号形式有关。

16. 系统型别对稳态误差有什么影响？

系统型别由开环传递函数中积分环节个数决定。型别越高，跟踪低阶输入信号的能力越强，稳态误差越小。但积分环节过多会降低系统稳定性。

第四章 根轨迹法

17. 什么是根轨迹？

根轨迹是当开环增益从零变化到无穷大时，闭环特征根在复平面上移动形成的轨迹。根轨迹反映闭环极点随系统参数变化的规律。

18. 根轨迹的幅值条件和相角条件是什么？

根轨迹上的点必须满足闭环特征方程。相角条件用于判断某点是否在根轨迹上，幅值条件用于求该点对应的开环增益。

19. 根轨迹为什么关于实轴对称？

实际控制系统的特征方程通常具有实系数，因此复根必成共轭成对出现，所以根轨迹关于实轴对称。

20. 增加开环零点对根轨迹有什么影响？

增加开环零点通常会吸引根轨迹向左弯曲，使闭环极点更可能位于左半平面，有利于提高系统稳定性和快速性。

21. 增加开环极点对根轨迹有什么影响？

增加开环极点通常会使根轨迹向右弯曲，可能降低系统稳定性，使系统响应变慢或振荡增强。

22. 根轨迹与虚轴交点有什么意义？

根轨迹与虚轴相交时，闭环系统存在纯虚根，系统处于临界稳定状态。对应的增益通常是系统稳定与不稳定的临界增益。

第五章 频率响应法

23. 什么是频率特性？

频率特性是系统在正弦输入作用下稳态输出与输入之间的幅值比和相位差随频率变化的关系，包括幅频特性和相频特性。

24. Bode 图有什么优点？

Bode 图使用对数坐标表示频率响应，能把乘除关系转化为加减关系，便于绘制、分析和设计，也方便判断系统稳定裕量和动态性能。

25. 低频段、中频段和高频段分别反映什么性能？

  • 低频段主要反映稳态精度
  • 中频段主要反映动态性能和相对稳定性
  • 高频段主要反映抗高频噪声能力

26. 什么是相位裕量？

相位裕量是在剪切频率处，系统开环相角距离 -180 度还差多少。相位裕量越大，系统相对稳定性越好，但过大时响应可能变慢。

27. 什么是增益裕量？

增益裕量是在相角为 -180 度时，开环幅值距离 1 还差多少。它表示系统允许开环增益增加的倍数，反映系统相对稳定性。

28. 奈奎斯特稳定判据的基本思想是什么？

奈奎斯特稳定判据通过开环频率特性曲线包围 (-1,j0) 点的情况，判断闭环系统稳定性。其核心关系为闭环右半平面极点数等于开环右半平面极点数减去顺时针包围 (-1,j0) 点的圈数。

29. 纯滞后环节对系统有什么影响？

纯滞后环节不改变系统幅频特性，但会增加相位滞后，使相位裕量减小，降低系统稳定性，严重时可能导致振荡或不稳定。

第六章 控制系统校正

30. 为什么要进行系统校正？

当原系统不能满足稳定性、稳态精度或动态性能要求时，需要加入校正装置改变系统结构和频率特性，使系统满足给定性能指标。

31. 超前校正有什么特点？

超前校正提供正相角，能增大相位裕量，提高剪切频率，改善系统快速性和稳定性。缺点是会增大高频增益，使系统对高频噪声更敏感。

32. 滞后校正有什么特点？

滞后校正主要提高低频增益，改善稳态精度，并可降低剪切频率以提高相位裕量。缺点是响应速度可能变慢，并引入一定相位滞后。

33. 滞后-超前校正适用于什么情况？

当系统稳态精度和动态性能都不满足要求时，可采用滞后-超前校正。滞后部分改善稳态精度，超前部分改善动态性能和相对稳定性。

34. PID 控制中 P、I、D 分别起什么作用？

  • P 控制提高响应速度，减小误差，但增益过大可能引起振荡
  • I 控制消除稳态误差，但会降低系统稳定性
  • D 控制改善动态性能，增加阻尼，但对高频噪声敏感

35. PD 校正有什么特点？

PD 校正是比例-微分校正，也是一种超前校正。它可以增加系统阻尼，减小超调量，缩短调节时间，提高相位裕量和相对稳定性。但它不能改善系统型别，对稳态误差改善不明显，并且微分环节对高频噪声敏感。

36. 为什么实际 PD 控制器常采用带滤波形式？

理想 PD 控制器 K(1+T_ds) 含有纯微分环节，高频增益趋于无穷大，容易放大噪声，且物理上不易实现。实际工程中常采用：

G(s)=K\frac{1+T_ds}{1+\tau_ds}

该形式在微分环节后加入小惯性环节，可以限制高频增益，使控制器更容易实现。

要求 T_d>\tau_d，是为了使零点 -\frac{1}{T_d} 比极点 -\frac{1}{\tau_d} 更靠近原点，从而形成超前校正，提供正相角，提高相位裕量。

37. PI 控制有什么特点？

PI 控制可以提高系统型别，改善稳态精度，甚至消除阶跃输入下的稳态误差。但积分环节会增加相位滞后，使系统稳定性变差，响应可能变慢。

38. 校正方式如何选择？

  • 稳态误差不满足：优先考虑增大低频增益、PI 或滞后校正
  • 相位裕量不足：优先考虑超前校正
  • 响应速度太慢：优先考虑超前校正
  • 高频噪声明显：避免过强微分，可考虑滞后校正
  • 稳态和动态都不满足：考虑滞后-超前校正或 PID

综合比较题

39. 时域分析法、根轨迹法和频率响应法各有什么特点？

时域分析法直接研究系统输出随时间变化的过程，适合分析瞬态性能和稳态误差。根轨迹法研究闭环极点随参数变化的规律，适合分析增益变化对稳定性和动态性能的影响。频率响应法通过开环频率特性研究系统性能，适合稳定性分析和校正设计。

40. 改善稳态精度和改善稳定性之间有什么矛盾？

提高开环增益或增加积分环节可以改善稳态精度，但往往会降低相位裕量，使系统稳定性变差，甚至导致振荡。因此控制系统设计需要在稳态精度、快速性和稳定性之间折中。

41. 为什么系统不能只追求快速性？

提高快速性通常需要增大开环增益或提高剪切频率，但这可能降低相位裕量，增大超调和振荡，甚至导致不稳定。因此系统设计必须同时考虑快速性、稳定性和准确性。

42. 为什么说闭环极点决定系统动态性能？

闭环极点决定系统自由响应的形式和衰减速度。极点越靠近虚轴，响应衰减越慢；极点越靠左，响应越快；若极点位于右半平面，响应发散，系统不稳定。

43. 为什么高频增益不能过大？

高频增益过大会放大测量噪声和未建模高频动态，使控制信号剧烈变化，增加执行机构负担，并可能降低系统实际稳定性。

44. 简答题答题模板

遇到概念题：

  1. 先写定义
  2. 再写适用条件或特点
  3. 最后写作用或工程意义

遇到比较题：

  1. 分别说明两者定义
  2. 比较结构、优缺点和适用场景
  3. 给出总结性结论

遇到校正题：

  1. 判断系统主要问题是稳态精度、动态性能还是稳定裕量
  2. 写出校正装置作用
  3. 说明改善效果和可能代价
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