绪论
通信系统模型
信源 \rightarrow 编码 \rightarrow 信道 \rightarrow 译码 \rightarrow 信宿确定信号分析
确定信号的分类
按频带特性划分： 基带信号、频带信号
按周期性划分：周期信号、非周期信号
按能量划分：能量信号、功率信号
傅里叶技术与傅里叶变换
傅里叶技术与傅里叶变换
任意周期为T的周期信号s(t)可以展开为傅里叶级数
\begin{aligned}
s(t) &= \sum_{n}s_ne^{j2\pi\frac{n}{T}t} \\
s_n &= \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} s(t)e^{-j2\pi\frac{n}{T}t}dt
\end{aligned}任意信号x(t)可以进行傅里叶变换
\begin{aligned}
x(t) &= \mathcal{F}^{-1}\left[X(f)\right] = \int_{-\infty}^{+\infty} X(f)e^{j2\pi ft} df \\
X(f) &= \mathcal{F}\left[x(t)\right] = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)e^{-j2\pi ft}dt
\end{aligned}内积
任意信号x(t)和y(t)的内积定义为
<x, y> = \int_{-\infty}^{+\infty}x(y)y^*(t)dt = \int_{-\infty}^{+\infty}X(f)Y^*(f)df信号与其自身的内积就是能量
E_x = \int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|^2dt两个能量归一化的信号的内积称为归一化相关系数
\rho_{xy} = \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x(t)}{\sqrt{E_x}}\frac{y(t)}{\sqrt{E_y}}dt根据柯西-许瓦兹不等式
\begin{aligned}
|\rho_{xy}| &\leq 1 \\
|<x, y>| &\leq \sqrt{E_xE_y}
\end{aligned}常用傅里叶变换和公式
| x(t) | x(f) |
|---|---|
\frac{S}{T}rect(\frac{t}{T}) |
Ssinc(fT) |
Ssinc(2Wt) |
\frac{S}{2W}rect(\frac{f}{2W}) |
\delta(t) |
1 |
1 |
\delta(f) |
x(t)y(t) |
X(f) * Y(f) |
x(t) * y(t) |
X(f)Y(f) |
\frac{d}{dx}x(t) |
j2\pi f X(f) |
-j2\pi t x(t) |
\frac{d}{df}X(f) |
\mathcal{F}\left[sign(t)\right] |
\frac{1}{j\pi f} |
\frac{j}{\pi t} |
sign(f) |
Ae^{j(2\pi f_0t + \phi)} |
Ae^{j\phi}\delta( f- f_0) |
s(t) |
\sum_{n}s_n\delta(f - \frac{n}{T}) |
\frac{d}{du}sign(u) = 2\delta(u) |
|
g(t)\delta(t - t_0) = g(t_0)\delta(t - t_0) |
|
g(t) * \delta(t - t_0) = g(t - t_0) |
|
\delta(t -a)\delta(t + \tau - b) = \delta(t - a)\delta(\tau + a - b) |
理想采样
对信号x(t)进行理想采样，频域体现为周期性搬移
x(t)\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(t - nT) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(nT)\delta(t - nT) \Leftrightarrow \frac{1}{T}\sum_{m=-\infty}^{+\infty}X(f - \frac{m}{T})对频谱X(f)进行理想采样，时域体现为周期性搬移
X(f)\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(f - nf_0) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}X(nf_0)\delta(f - nf_0) \Leftrightarrow T\sum_{m=-\infty}^{+\infty}x(t - mT)也就是说
\sum_{m=-\infty}^{+\infty}x(t - mT) = \frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}X(\frac{n}{T})e^{j2\pi \frac{n}{T}t}能量谱密度与功率谱密度
能量谱密度
若x(t)的能量有限，则称为能量信号。 E_x(f) = |X(f)|^2称为x(t)的能量谱密度。
x(t + \tau)与x(t)的内积称为x(t)的自相关函数
R_x(\tau) = \int_{-\infty}^{+\infty}x^*(t)x(t + \tau)dt自相关函数有如下性质
- 最大值：
R_x(\tau) \leq R_x(0) = E_x - 共轭偶对称：
R_x(\tau) = R^*(-\tau) - 傅氏变换：
\mathcal{F}\left[R_x(t)\right] = E_x(f) = |X(f)|^2
功率谱密度
对于x(t)，其平均功率为
P_x = \lim_{T \rightarrow \infty}\frac{\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}|x(t)^2dt|}{T}如果这个极限存在且有限，那这个信号就是功率信号。
P_x = \lim_{T \rightarrow \infty}\frac{\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}|x(t)|^2dt}{T} = \lim_{T \rightarrow \infty}\frac{\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}|X(f)|^2df}{T}称
P_x(f) = \lim_{T \rightarrow \infty}\frac{|X_T(f)|^2}{T}为x(t)的功率谱密度。
功率信号x(t)的自相关函数定义为
R_x(\tau) = \overline{x^*(t)x(t + \tau)} = \lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x^*(t)x(t + \tau)dt功率信号的自相关函数有如下性质
- 最大值：
|R_x(\tau)| \leq R_x(0) = P_x - 共轭偶对称：
R_x(\tau) = R^*(-\tau) - 傅氏变换：
\mathcal{F}\left[R_x(t)\right] = P_x(f)
互谱密度
两个能量信号x(t), y(t)的互能量谱密度定义为E_{xy}(f) = X(f)Y^*(f) = X^*(f)Y(f)
令z(t) = x(t) + y(t)，则
R_z(\tau) = R_x(\tau) + R_y(\tau) + R_xy(\tau) + R_yx(\tau)其中
R_{xy}(\tau) = \int_{-\infty}^{+\infty}y(t)x(t + \tau)dt称为互相关函数。
上述概念可以拓展到功率信号。
周期信号s(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}g(t-nT_s)的功率谱密度为
P_s(f) = \frac{1}{T_s^2}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|G(\frac{n}{T_s})|^2\delta(f - \frac{n}{T_s})自相关函数为
R_s(\tau) = \frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}R_g(\tau - nT_s)绝对带宽
频带宽度
主瓣带宽
第一零点带宽
3dB带宽
百分比带宽
等效矩形带宽
确定信号通过线性系统
解析信号
希尔伯特变换
设有实信号x(t)，将x(t)通过一个冲激响应为\frac{1}{\pi t}，传递函数为-jsign(f)的滤波器后的输出称为x(t)
\hat{x}(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{t - u}{\pi u} du其频谱
\hat X(f) = -jsign(f)X(f)可以证明x(t)与\hat x(t)有相同的能量谱密度、功率谱密度和自相关函数，并且x(t)与\hat x(t)正交。
复解析信号的定义为
z(t) = x(t) + j\hat x(t)其频谱
Z(f) = \begin{aligned}\begin{cases}
2X(f)&, f > 0\\0&, f < 0
\end{cases}\end{aligned}可以看出解析信号只有正频率分量。反之仍然成立。
带通信号和带通系统
复包络
带通信号x(t)的复包络定义为x_L(t) = [x(t) + j\hat x(t)]e^{-2\pi f_c t}
也就是说
X_L(f) = Z(f + f_c) = \begin{aligned}\begin{cases}
2X(f + f_c)&, f < |f_c|\\0&, f > |f_c|
\end{cases}\end{aligned}X(f) = \begin{aligned}
\begin{cases}
\frac{1}{2}X_L(f - f_c) ,& f > 0\\
\frac{1}{2}X^*_L(- f - f_c) ,& f < 0
\end{cases}
\end{aligned} = \frac{1}{2}X_L(f - f_c) + \frac{1}{2}X^*_L(-f - f_c)P_L(f) = \begin{aligned}
\begin{cases}
4P_x(f + f_c),& |f| < f_c \\
0, & |f| > f_c
\end{cases}
\end{aligned}P_x(f) = \frac{1}{4}P_L(f - f_c) + \frac{1}{4}P_L(-f - f_c)带通信号的表示
设x(t)的复包络为x_L(t)
x_L(t) = x_c(t) + jx_s(t) = A(t)e^{j\phi(t)}则
\begin{aligned}
x(t) &= Re[x_L(t)e^{j2\pi f_c t}] \\
&= x_c(t)cos2\pi f_c t - x_s(t)sin2\pi f_c t \\&= A(t)cos[2\pi f_c t + \phi(t)]
\end{aligned}称x_c(t)为x(t)的同相分量，x_s(t)为x(t)的正交分量。A(t)为x(t)的包络，\phi(t)为x(t)的相位。
带通信号由复包络和参考载波共同决定，参考载波决定带同信号的频谱位置，带同信号的其余信息都包含在复包络中。复包络是一个基带信号。
带通系统的等效频带分析
如果滤波器的冲激响应h(t)是带通信号，则称此滤波器为带通滤波器或带通系统。
频带信号x(t)通过带通系统h(t)，等效于复包络x_L(t)通过等效的基带系统h_e(t)。
\begin{aligned}
Y_L(f) &= X_L(f)H_e(F) \\
y_L(t) &= x_L(t) * h_e(t)
\end{aligned}其中h_e(t) = \frac{1}{2}h_L(t)
无失真系统
波形无失真
信号s(t)通过线性时不变系统后成为y(t)，若y(t)只有幅度和延迟的变化，即
y(y) = a \cdot s(t - t_0), (a > 0)则此系统为理想无失真系统
无失真系统的传递函数为
H(f) = ae^{-2\pi f t_0}定义
\tau(f) = -\frac{\varphi(f)}{2\pi f}为信道的时延特性，它表示信号中的不同频率分量通过信道后的时延。波形无失真要求\tau为常数。
复包络无失真
若等效基带系统能使输入输出的复包络满足无失真关系，即
y_L(t) = K \cdot s_L(t - t_0), K = a\cdot e^{j\phi}复包络无失真要求在输入复包络的频带范围内，系统的等效基带传递函数为H(f) = ae^{j\phi}e^{j2\pi f t_0}
带通系统的传递函数为
H(f) = \begin{aligned}
\begin{cases}
H_e(f - f_c), &f > 0 \\
H_e^*(-f - f_c), & f < 0>
\end{cases}
\end{aligned} = \begin{aligned}
\begin{cases}
ae^{-j(2\pi f t_0 - \theta)}, &f > 0 \\
ae^{-j(2\pi f t_0 + \theta)}, & f < 0>
\end{cases}
\end{aligned}其中\theta = 2\pi f_c t_0 + \phi
相频特性\varphi(f) = -2\pi f t_0 + \theta，直线的斜率体现了复包络的时延。
称(f > 0)
\tau_G(f) = -\frac{1}{2\pi} \cdot \frac{d\varphi(f)}{df}为带通系统的群时延特性。复包络无失真要求幅频特性为常数，群时延特性为常数。
滤波器的可实现性
非因果的滤波器是物理不可实现的。但是我们经常使用非因果的滤波器模型，是因为在许多情况下,我们可以忽略绝对时延,即认为冲激响应h(t)与冲激响应h(t-t_0)对信号的影响只是到达时间不同,除此之外是等价的。
对于持续时间无限的冲激响应来说，实际电路智能近似实现。
\tilde{h}(t) = \begin{aligned}
\begin{cases}
h(t - t_0), & 0 \leq t \leq T \\
0, else
\end{cases}
\end{aligned}其中的t_0, T越大，近似误差就越小。如果近似滤波器带来的影响可以忽略，就认为h(t)物理可实现。
随机过程
引言
一般说来，自然界中事物的变化过程可以大致分成两类，即确定性过程和随机性过程。
-
确定性过程：这类变化过程具有确定的形式，或者说具有必然的变化规律，用数学语言来说，其变化过程可以用一个或几个时间 t 的确定函数来描述，故将这类过程称为确定性过程。这一类信号称为确定信号。
-
随机性过程：这类过程没有确定的变化形式，也就是说，每次对它的测量结果没有一个预先确定的变化规律，用数学语言来说，这类事物变化的过程不可能用一个或几个时间 t 的确定函数来描述，这类过程称为随机性过程。这类信号称为随机信号。
通信过程本质上是信号和噪声通过通信系统的过程。在通信系统中遇到的信号和噪声总会带有某种随机性，因此从统计数学的观点来看，随机信号和噪声统称为随机过程。
随机过程的统计特性
随机过程的概念
无穷多个样本函数的总体叫做随机过程。
随机过程的均值及相关函数
随机过程X(t)在任意时刻是一个随机变量，此随机变量的数学期望为
E[X(t)] = m_X(t)任何随机过程都可以看成是一个零均值随机过程与一个确定函数的和。令\tilde{X}(t) = X(t) - m_X(t)，则E[\tilde{X}(t)] = 0。
则
X(t) = \tilde{X}(t) + m_X(t)基于这一点，许多情况下可以只研究零均值随机过程。
对于任意时刻t_1, t_2, X(t_1), X(t_2)是两个随机变量。称
E[X(t_1)X(t_2)] = R_X(t_1, t_2)为随机过程X(t)的自相关函数。
设X(t), Y(t)是两个随机过程。对于任意时刻t_1, t_2, X(t_1), Y(t_2)是两个随机变量。称
E[X(t_1) Y(t_2)] = R_{XY}(t_1, t_2)为随机过程X(t), Y(y)的互相关函数。
若对任意时刻t有
E[X(t)Y(t)] = E[X(t)]E[Y(y)]则称X(t), Y(t)这两个随机过程在同一时刻不相关。
若对任意时刻t_1, t_2有
E[X(t_1)Y(t_2)] = E[X(t_1)]E[Y_(t_2)]则称X(t), Y(t)这两个随机过程不相关。
零均值随机过程与任何确定信号不相关。
随机过程的功率谱密度
随机过程的功率谱密度有如下性质：
- 平均功率谱密度是平均自相关函数的傅氏变换。
\overline{R}_X(\tau) \Leftrightarrow \overline{P}_X(f) \overline{P}_X(f) \geq 0- 对于实随机过程，
\overline{P}_X(f)是实偶函数 - 随机过程的平均功率为
\overline{R}_X(0) = \overline{E[X^2(t)]} = \overline{P}_X - 若两个零均值随机过程不相关，则他们相加的功率谱密度等与各自功率谱密度之和
- 若
X(t)是零均值随机过程，m(t)是功率谱密度为P_M(f)的确定功率信号，则X(t) + m(t)的功率谱密度为\overline{P}_X(f) + P_m(f)
平稳随机过程
平稳随机过程的定义
若随机过程X(t)的数学期望和自相关函数都与t无关，则称X(t)为宽平稳随机过程。
窄平稳随机过程：p_n(x_1, x_2, \cdots x_n, t_1, t_2, \cdots, t_n) = p_n(x_1, x_2, \cdots x_n, t_1 + \tau, t_2 + \tau, \cdots t_n + \tau)
一般说平稳随机过程是指宽平稳过程。
各态历经性（遍历性）
若有某种平稳随机过程，它的数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现( 样函数 ) 的数字特征（均为时间平均）来替代。这也就是说，假设 x(t) 是平稳随机过程 X(t) 的任意一个实现，它的时间均值和时间相关函数则分别满足下式
\begin{aligned}
m_x &= \overline{x(t)}\\
R_X(\tau) &= \overline{x(t)x(t + \tau)}
\end{aligned}此时则称该平稳随机过程具有各态历经性。它表明随机过程中的任一实现（样本函数）都经历了随机过程的所有可能的状态。遍历性的意思是说所有样本函数具有某些相同的特性。
联合平稳
若E[X(t)Y(t +\tau)] = R_{XY}(\tau)与t无关，则称X(t), Y(t)联合平稳。
复平稳过程
若X(t), Y(t)联合平稳，则复随机过程Z(t) = X(t) + jY(t)为复平稳过程。复平稳过程的自相关函数为
R_Z(\tau) = E[Z^*(t)Z(t + \tau)]R_Z{\tau}满足共轭对称性，其功率谱密度是是函数。实部是\tau的偶函数，虚部是\tau的奇函数。
复随机过程与其共轭过程之间的互相关函数是
R_{Z^*Z}(t, t+\tau) = E[(Z^*(t)*Z(t + \tau))] = E[Z(t)Z(t + \tau)]如果复随机过程Z(t)的自相关函数E[Z*(t)Z(t + \tau)]，共轭相关函数E[Z(t)Z(t + \tau)]都与t无关，则其实部X(t)和虚部Y(y)联合平稳。
任意零均值复随机过程的实部和虚部是零均值实随机过程。
设零均值复平稳过程Z(t)共轭不相关，则
\begin{aligned}
R_X(\tau) &= R_Y(\tau) = \frac{1}{2}Re[R_Z(\tau)] \\
R_{XY}(\tau) &= R_{YX}(\tau) = \frac{1}{2}Im[R_Z(\tau)]
\end{aligned}零均值平稳过程通过滤波器
Y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}X(u)h(t - u) duE[Y(t)] = E[\int_{-\infty}^{+\infty}X(u)h(t - u) du] = \int_{-\infty}^{+\infty}E[X(u)]h(t - u) du = 0零均值随机过程通过滤波器的输出也是零均值随机过程。
Y(t)的自相关函数是
\begin{aligned}
E[Y(t)Y(t + \tau)] &= E[\int_{-\infty}^{+\infty}X(t - u)h(u) du \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}X（t + \tau - v）h(v) dv]
\\&= E[\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}X(t - u)X(t + \tau - v)h(u)h(v)dudv]
\\&= \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}E[X(t - u)X(t + \tau - v)h(u)h(v)dudv]
\\&= \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}R_X(\tau - v + u)h(u)h(v) du dv
\end{aligned}X(t)与Y(t)的互相关函数为
R_{XY}(\tau) = E[X(t)Y(t + \tau)] = \int_{-\infty}^{+\infty}R_X(\tau - v)h(v) dv = R_X(t) * h(t)由此可以确定互功率谱密度
P_{XY}(f) = R_X(f)H(f)这也说明X(t), Y(t)联合平稳。
平稳序列
随机序列的均值为常数，自相关函数只与时间差有关。
循环平稳过程
随机过程的均值、自相关函数与时间有关，但是都是时间的周期函数。
高斯过程
若高斯随机变量X的均值为0,方差为\frac{1}{2}，则|X| > x的概率由互补误差函数给出：
P(|X| > x) = 2\int_{x}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-u^2}du = erfc(x)若X服从标准正态分布，则X > x的概率由高斯Q函数给出：
P(X > x) = \int_{x}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{u^2}{2}} du = Q(x) = \frac{1}{2}erfc(\frac{x}{\sqrt{2}})定义略。
- 高斯过程与确定信号的乘积、卷积都是高斯过程。
加性高斯白噪声(AWGN)
令n_B(t)为零均值平稳高斯过程，其功率谱密度为
P_{n_B}(f) = \begin{aligned}
\begin{cases}
\frac{N_0}{2}, &|f| \leq B\\
0,& |f| > B
\end{cases}
\end{aligned}高斯白噪声定义为如下极限：
n_w(t) = \lim_{B\rightarrow\infty}n_B(t)其功率谱密度为
P_{n_w}(f) = \frac{N_0}{2}, -\infty < f < \infty>自相关函数为
P_{n_w}(\tau) = \frac{N_0}{2}\delta(\tau)高斯白噪声的均值为0,功率（方差）是无限大。
高斯白噪声通过滤波器
高斯白噪声通过滤波器后的输出是
n(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}n_w(\tau)h(t - \tau) d\tau其功率谱密度为
P_n(f) = \frac{N_0}{2}|H(f)|^2功率为
E[n^2(t)] = \int_{-\infty}^{+\infty}P_n(f) df = \frac{N_0}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}|H(f)|^2df如果H(f)是理想低通，带宽为B，增益为1，则
E[n^2(t)] = N_0B高斯白噪声在不同频带上的分量相互独立。
高斯白噪声通过带通滤波器
高斯白噪声通过带通滤波器H(f)后的输出n(t)为带通型噪声，也称窄带噪声。
n(t)对应的解析信号为
z(t) = n(t) + j\hat{n}(t)n(t)的复包络是
n_L(t) = z(t)e^{-j2\pi f_c t }n(t)的同相分量、正交分量、包络和相位分别是
\begin{aligned}
n_c(t) &= Re[n_L(t)] = \frac{n_L(t) + n^*_L(t)}{2} \\
n_s(t) &= Im[n_L(t)] = \frac{n_L(t) - n^*_L(t)}{2j} \\
A(t) &= |n_L(t)| = \sqrt{n_c^2(t) + n_s^2(t)} \\
\varphi(t) &= tan^{-1}\frac{n_s(t)}{n_c(t)}
\end{aligned}n(t) = Re[z(t)] =n_c(t)cos2\pi f_c t - n_s(t)sin2\pi f_c t = A(t)cos[2\pi f_ct + \varphi(t)]n(t)的功率为P_n = \sigma^2 = E[n^2(t)] = \frac{N_0}{2}E_h
如果H(f)是理想带通，带宽为B，则
P_n = N_0Bn(t)的特性
P_z(f) = P_n(f)[1 + sgn(f)]^2R_z(\tau) = 2[R_n(\tau) + j\hat{R}_n(\tau)]z(t)满足共轭不相关
n_L(t)的特性
n_L(t)满足共轭不相关
P_L(f) = P_z(f + f_c) = \begin{aligned}
\begin{cases}
P_n(f + f_c), &|f \leq f_c|
0, &|f > F_c|
\end{cases}
\end{aligned}n_c(t)和n_s(t)的特性
n_L(t)的实部和虚部联合平稳
\begin{aligned}
R_c(\tau) &= R_s(\tau) = \frac{1}{2}Re[R_L(\tau)] = \frac{1}{2}[R_L(\tau) + R^*_L(\tau)] \\
R_cs(\tau) &= R_sc(-\tau) = \frac{1}{2}Im[R_L(\tau)]
\end{aligned}n_c(t), n_s(t)的功率谱密度为
P_c(f) = P_s(f) = \frac{1}{4}[P_L(-f) + P_L(f)]n_c(t), n_s(t), n(t)有相同的功率
包络A(t)与相位\varphi(t)的分布特性
当n_c, n_s为独立同分布的零均值高斯随机变量时，\varphi在[0, 2\pi]内均匀分布，A服从瑞利分布，其概率密度函数为p_A(a) = \frac{a}{\sigma^2}e^{-\frac{a^2}{2\sigma^2}}
窄带噪声叠加余弦波后的包络分布
窄带高斯噪声叠加一个余弦波后成为X(t) = n(t) + Acos2\pi f_c t其复包络为
X_L(t) = A + n_c(t) + jn_s(t)包络
R(t) = |X_L(t)| = \sqrt{[A + n_c(t)]^2 + n_s^2(t)}随机变量R服从莱斯分布
p_R(r) = \frac{r}{\sigma^2}e^{-\frac{r^2 + A^2}{2\sigma^2}}I_0(\frac{Ar}{\sigma^2})匹配滤波器
确定信号s(t)叠加了高斯白噪声n_w(t)后通过冲激响应为h(t)，传递函数为H(f)的滤波器，输出为y(t) + n(t)
假设s(t)的能量为E_s, h(t)的能量为E_h。在任意时刻，输出噪声的平均功率为\frac{N_0E_h}{2}
在采样时刻t_0，输出的有用信号为
y(t_0) = \int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)s(t_0 - \tau) d\tau采样时刻的信噪比为
\begin{aligned}
\gamma = \frac{y^2(t_0)}{E[n^2(t_0)]} \\
&= \frac{[\int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)s(t_0 - \tau) d\tau]^2}{\frac{N_0E_h}{2}}\\
&= \frac{2E_s}{N_0}[\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{h(\tau)}{\sqrt{E_h}} \cdot \frac{s(t_0 - \tau)}{\sqrt{E_s}} d\tau]^2
\end{aligned}令h(\tau) = Ks(t_0 - \tau)，积分得到最大值。最大信噪比
\gamma_{max} = \frac{2E_s}{N_0}称冲激响应为h(t)的滤波器为加性白噪声下对s(t)的匹配滤波器。
H(f) = KS^*(f)e^{-2\pi f t_0}此时
y(t) = KR_s(t - t_0)对复包络匹配
h_e(t) = K s_L^*(t_0 - t)此时
y_L(t) = KR_L(t - t_0)对复包络匹配的滤波器能保证采样时刻的包络|y_L(t)最大,但不保证输出带通号的瞬时值y(t)最大。
信息论初步
引言
信源编码的目标：从信息论观点看，实际的信源若不经过信息处理，即信源编码，会存在大量的统计多余的成分（冗余信息 Redundance ），这一部分信息完全没有必要通过信道传送给接收端，因为它完全可以利用信源的统计特性在接收端恢复出来。
信源编码的任务是在分析信源统计特性的基础上，设法通过信源的压缩编码（ Compresscoding ）去掉这些统计多余成分。
信息源的统计特性
消息出现的概率越小，消息中包含的信息量就越大。
假设P(x)是一个消息发生的概率，I是从该消息获取的信息，则
- 信息量是概率的函数
I = f[P(x)]-
P(x)越小，I越大。反之I越小且\begin{aligned} P(x) \rightarrow 1, &I \rightarrow 0\\ P(x) \rightarrow 0, &I \rightarrow \infty\\ \end{aligned} -
信息具有相加性，即
I[P(x_1), P(x_2)...] = I[P(x_1)] + I[P(x_2)] + ...
综上
I = log_a\frac{1}{P(x)} = -log_aP(x)当a = 2时，信息量的单位是比特(bit)，a = e时，单位是奈特(nit)，a = 10时，单位是哈特莱(hartly)
离散信源与连续信源
单消息信源
单消息离散信源
假设信源仅输出一个消息
可能输出的消息是有限的或可数的，每次只输出一个消息。
数学模型
\left[
\begin{matrix}
X \\
P(x)
\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}
a_1& a_2& \cdots& a_n\\
P(a_1)& P(a_2)& \cdots& P(a_n)
\end{matrix}\right]其中0 \leq P(a_i) \leq 1且\sum P(a_i) = 1
单消息连续信源
可能输出的消息数是无限的或不可数的，每次只输出一个消息。
数学模型
\left[
\begin{matrix}
X \\
p(x)
\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}
x \in (a, b) \\
p(x)
\end{matrix}\right]消息序列信源
序列离散信源
假设离散序列信源由L个离散符号构成。
则
P(x) = P(x_1\cdots x_l\cdots x_L) = P(x_1)P(x_2|x_1)P(x_3|x_2x_1) \cdots P(x_L|x_{L-1}\cdots x_1)这是一个L维的联合概率。
离散无记忆序列信源
P(x_1x_2\cdots x_L) = \Pi P(x_l) = P^L离散有记忆序列信源
离散信息源的信息度量
单消息(符号)离散信源的自信息量
I[P(x_i)] = -logP(x_i)两个单消息(符号)离散信源的联合自信息量
条件信息量
I[P(y_i|x_i)] = -logP(y_i|x_i)联合信息量
I[P(x_iy_i)] = -logP(x_iy_i)互信息
\begin{aligned}
I(x_i, y_i) &= log\frac{P(x_i|y_i)}{x_i} \\&= - logP(x_i) - (-logP(x_i|y_i)) \\&= I(x_i) - I(x_i|y_i)
\end{aligned}单消息(符号)离散信源的信息熵
H(x) = E[I[P(x_i)]] = E[-logP(x_i)] = -\sum P(x_i)logP(x_i)信息 的单位与自信息量的单位一样都取决于所取对数的底。2为比特， e为奈特， 10为迪特。1 bit = 0.693 Nat = 0.301 Det
连续信息源的信息度量
抽样定理告诉我们，一个频带受限的连续信号，可以用每秒一定数目的抽样值代替。
信息源的熵
离散信源的平均信息量(信息熵)定义为
H(x) = -\sum P(x_i)log_2P(x_i) = \sum P(x_i)I(x_i)- 信源熵是非负的
- 信源熵具有上凸性
条件熵、联合熵及互信息
联合熵
H(X, Y) = H(XY) = -\sum\sum P(x_i, y_j)logp(x_i, y_j)条件熵
\begin{aligned}
H(X|Y) &= -\sum\sum p(x_i, y_j)logp(x_i|y_j) \\
H(Y|X) &= -\sum\sum p(x_i, y_j)logp(y_j|x_i)
\end{aligned}它们之间有如下主要性质
H(X, Y) = H(X) + H(Y|X)\\
H(Y, X) = H(Y) + H(X | Y)\\
H(X) \geq H(X | Y) \\
H(Y) \geq H(Y | X)平均互信息
\begin{aligned}
I(X,Y) &= H(X) - H(X|Y) \\
&=E[-log\frac{P(x_i)}{P(x_i|y_i)}] \\&= E[i(x_i, y_i)]
\end{aligned}还可以等效定义为
I(X, Y) = H(Y) - H(Y|X)I(X, Y) \geq 0I(X, Y) = H(X) - H(X|Y) = H(Y) - H(Y|X) = H(X) + H(Y) - H(X, Y)I(X, Y) \leq H(X)I(Y, X) \leq H(Y)
信源的效率及冗余度
信源的效率
但实际信源几乎都是有记忆的，这就说明信源输出的消息序列的各个消息之间必然存在着记忆，即相互统计关联，换句话说，也就是说存在着信息冗余现象。
定义信源效率
\eta = \frac{H_{\infty}(X)}{H_0(X)}H_0(X), H_{\infty}(X)分别代表无记忆等概率信源的最大熵和无限长度记忆信源的极限熵。
定义信源的冗余度
R = 1 - \eta信道容量及香农公式
信息传输速率
R = r \cdot I(X, Y)信道容量定义：指单位时间内信道上所能传输的最大信息量。
信道容量
C = R_{max} = r \cdot max{I(X, Y)} = r max{[H(X) - H(X|Y)]}有扰离散信道的信息传输容量
若发送符号集为X = {x_i}, i = 1, 2, ..., L，接收符号集为Y = {y_i}, i = 1, 2, ..., M
在对称信道中
\begin{aligned}
C &= r \cdot [H(Y) - H(Y|X)]\\
&= r \cdot [logM + \frac{1}{L}\sum_{j=1}P(y_j|x_i)logP(y_j|x_i)]
\end{aligned}有扰连续信道的信息传输容量
在平均功率有限的情况下，对于频带有限的连续信号（带宽 B ）采用2B 抽样频率
C = B \cdot log(1 + \frac{S}{N})式中B为信道带宽，S为信号功率，N为噪声功率。
信道与噪声
信道的分类
\text{信道} \left\{
\begin{array}{ll} % 使用两个l列，中间加一点水平空间
\text{狭义信道} \left\{
\begin{array}{l} % 嵌套一个左对齐的array
\text{有线信道, 如电缆、光纤等} \\
\text{无线信道, 如中短波、微波信道等}
\end{array}
\right. \\ % 换行，并增加一些垂直间距（可以调整1.5ex）
\text{广义信道} \left\{
\begin{array}{ll} % 嵌套一个array
\text{调制信道} \left\{
\begin{array}{l} % 再次嵌套
\text{恒参信道} \\
\text{随参信道}
\end{array}
\right. \\ % 换行并增加间距
\text{编码信道} \left\{
\begin{array}{l} % 再次嵌套
\text{有记忆信道} \\
\text{无记忆信道}
\end{array}
\right.
\end{array}
\right.
\end{array}
\right.按照信道输入输出端信号的类型划分可划分为连续信道（模拟信道）和离散信道（数字信道）
信道的数学模型
连续信道模型
s(t) = f_t[s_i(t)] + n(t)离散信道模型
模拟线性幅度调制系统
幅度调制属于线性调制，它是通过改变载波的幅度，以实现调制信号频谱的平移及线性变换，频谱搬移前后信号的频谱形状不会变化。
标准幅度调制(AM)
标准幅度调制，也叫包络调制，时域表达式为
\begin{aligned}
s_{AM}(t) &= A_ccos2\pi f_c t + A_mm(t)cos2\pi f_ct
\\&= A_c[1 + am_n(t)]cos2\pi f_c t
\end{aligned}其中m_n(t) = \frac{m(t)}{|m(t)|_{max}}, a = \frac{A_m|m(t)|_{max}}{A_c}
始终a称为调制指数，或调幅系数。要求a\leq 1以使信号的包络位于时间轴上方，从而可以包络检波。
如果调制信号为单频余弦，假设相位为0
s(t) = A_0[1 + \beta_{AM}cos2\pi f_mt]cos2\pi f_c t频谱为
S_{AM}(w) = \pi A_0 [\delta(\omega - \omega_c) + \delta(\omega + \omega_c)] + \frac{\pi}{2}A_0\beta_{AM}[\delta(\omega -\omega_c - \omega_m) + \delta(\omega - \omega_c + \omega_m)] + \frac{\pi}{2}A_0\beta_{AM}[\delta(\omega + \omega_c- \omega_m) + \delta(\omega + \omega_c + \omega_m)]如果调制信号为确知信号f(t)
s_{AM}(t) = [A_0 + f(t)]cos(2\pi f_c t) = m(t) \cdot c(t)S_{AM}(f) = M(f) * C(f)\\
M(f) = A_0\delta(f) + F(f)
不难得知AM调制的带宽B = 2f_H
平均功率S_{AM} = \frac{A_0^2}{2} + \frac{\overline{f^2(t)}}{2} = S_c + S_f
调幅效率
\eta = \frac{S_f}{S_{AM}}如果是单频余弦信号
\eta = \frac{A_m^2}{2A_0^2 + A_m^2} = \frac{\beta^2}{2 + \beta^2}标准调幅的解调可以使用相干解调和非相干解调。
- 非相干解调： 包络检波。需要保证信号的包络始终在时间轴上方。
- 相干解调：乘以本地载波后通过低通滤波。
双边带调幅(DSB)
就是AM调幅去掉了载波分量。
DSB相比AM
- 需要相干解调，一般不能使用包络检波。当在接收端的解调端处或调制端插入强载波，也可以采用包络检波的方法。
- 在调制信号 m(t) 的过零点处，高频载波相位有180° 的突变，即信息部分转移到了相位上。
- 信号功率利用率（效率）提高了
DSB的带宽仍然是B = 2f_H,调制效率为1。
单边带调幅(SSB)
滤波法
这种方法实现较为困难，需要滤波器有陡峭的截止特性。在工程中往往采用多级调制滤波的方法。
相移法
使用相移方法来抑制不需要的边带。先将原始信号和载波信号相移90°，再将原信号与原载波信号调制，相移后的信号与相移后的载波信号调制。这两个调制信号通过加减，就可以得到边带信号。
模拟电路常用相移网络实现，数字电路常用希尔伯特变换。
s_{SSB}(t) = \frac{1}{2}m(t)cos\omega_c t \pm \frac{1}{2}\hat m(t)sin\omega_c tSSB 信号和 DSB 信号时域表达式联系
s_{SSB}(t) = S_{DSB}(t) * h_{SSB}(t)\begin{aligned}
h_{USB}(t) &= \delta(t) - \frac{1}{\pi}\frac{sin \omega_c t}{t} \\
h_{LSB}(t) &= \frac{1}{\pi}\frac{sin\omega_c t}{t}
\end{aligned}相移法实现的困难为，如何使载波准确相移 90°，如何使所有频率成分相移 90°
SSB的带宽为B = f_H
SSB有很多优点
- 传输带宽不会大于消息带宽，为调幅的一半
- 载频被抑制
残留边带调幅(VSB)
残留边带调制是介于单边带与抑制载波双边带调制之间的一种方法。除了传送一个边带之外，还保留了另一个边带的一部分，即过渡带。在实现上比较容易。 残留边带调制同样可以用移相法，实际上大都采用滤波法。
残留边带条幅要求滤波器特性满足互补对称性
H_{VSB}(\omega + \omega_c) + H_{VSB}(\omega - \omega_c) = C模拟线性幅度调制系统噪声性能分析
噪声分类：加性（脉冲干扰、起伏干扰）、乘性
各态历经平稳高斯白噪声(AWGN)
- 各态历经：统计平均＝时间平均
- 平稳：概率密度函数与时间无关
- 高斯：概率密度分布为高斯分布
- 白噪声：功率谱为均匀分布
模拟通信系统性能评估指标
一般通信系统的质量指标
质量指标：
- 有效性 频谱效率
- 模拟：有效传输频带
- 数字：信息传输速率
- 可靠性 准确程序
- 模拟：接收端的输出信噪比
- 数字：误码率或误符号率
模拟调制系统的性能评估指标
信噪比增益
G = \frac{SNR_o}{SNR_i}各调制方式抗噪声性能分析
略
模拟非线性角度调制系统
使高频载波的频率或相位按调制信号的规律变化而振幅保持恒定的调制方式，称为频率调制（FM）和相位调制（PM），分别简称为调频和调相。因为频率或相位的变化都可以看成是载波角度的变化，故调频和调相又统称为角度调制。
角度调制属于非线性调制，即调制后信号的频谱不再是调制前信号频谱的线性搬移，而会产生出很多新的频率成分。
角度调制特别适合需要高质量音质的应用领域。对于广播出现后，传送的消息内容从语言扩展到了音乐时，由于人们有了对音质、音色及抗干扰性的特殊要求，此时角度调制系统就能比较好地解决这个问题。
调频及调相信号
一角度调制信号可以表示为
s(t) = A_0cos\theta(t)他的瞬时频率
f_i(t) = \frac{1}{2\pi}\frac{d}{dt}\theta(t)由于s(t)是带通信号，也可以表示为
s(t) = A_0cos(2\pi f_ct + \varphi(t))其中\theta(t) = 2\pi f_c t + \varphi(t)
故
f_i(t) = f_c + \frac{1}{2\pi}\frac{d}{dt}\varphi(t)设基带信号为m(t)，则在调相系统中
\varphi(t)_p = Km(t)在调频系统中
f_i(t) - f_c = K_fm(t) = \frac{1}{2\pi}\frac{d}{dt}\varphi(t)也就是说
\varphi(t) = \begin{aligned}
\begin{cases}
K_pm(t),&PM\\
2\pi K_f \int_{-\infty}^{t}m(t)dt ,& FM
\end{cases}
\end{aligned}\frac{d}{dt}\varphi(t) = \begin{aligned}
\begin{cases}
K_p\frac{d}{dt}m(t),&PM\\
2\pi K_fm(t) ,& FM
\end{cases}
\end{aligned}调频系统的时域表达式为
s_{FM}(t) = A_0cos(2\pi f_c t + K_f\int_{-\infty}^{t}m(t)dt)在调频系统中，最大频率偏移为
\Delta f_{max} = K_fmax|m(t)|调频系统的调制指数 \beta_f = \frac{\Delta f_{max}}{W} = \frac{K_fmax|m(t)|}{W}
调相系统的时域表达式为
s_{PM}(t) = A_0cos(2\pi f_ct + K_pm(t))在调相系统中，最大相位偏移量
\Delta \phi_{max} = K_pmax|m(t)|调相指数
\beta_{PM} = K_pmax|m(t)|窄带角度调制系统
窄带调频
当最大相位偏移及相应的最大频率偏移满足
K_{FM}[\int_{-\infty}^{t}m(t)dt] << \frac{\pi}{6}这时，基本调频表达式就可以得到简化，因此可求出它的任意调制信号的频谱表示式。这时，信号占据的带宽比较窄，属于窄带调频（NBFM）。反之，则称为宽带调频（WBFM）。
时域分析
\begin{aligned}
s_{FM}(t) &= Acos(2\pi f_c t + 2\pi K_f\int_{-\infty}^{t} m(t)dt)\\
&= Acos(2\pi f_ct)cos(2\pi K_f\int_{-\infty}^{t}m(t)dt) - Asin(\omega_c t)sin(2\pi K_f\int_{-\infty}^{t}m(t)dt) \\
&\approx Acos(2\pi f_c t) - Asin(2\pi f_c t)[2\pi K_f\int_{-\infty}^{t}m(t)dt]
\end{aligned}频域分析
S_{FM}(f) = \frac{A}{2}[\delta(f - f_c) + \delta(f + f_c)] + \frac{A}{2}[\frac{M(f - f_c)}{f - f_c} - \frac{M(f + f_c)}{f + f_c}]可以看出调频信号的带宽为B = 2f_H，但是频率加权导致了调制信号频谱的失真。
窄带调相
满足最大瞬时相移
K_fmax|m(t)| << \frac{\pi}{6}时域分析
\begin{aligned}
s_{PM}(t) &= Acos(2\pi f_c t+K_p m(t))\\
&= A[cos(2\pi f_ct)cos(K_pm(t)) - sin(2\pi f_ct)sin(K_pm(t))]\\
&\approx Acos(2\pi f_c t) - AK_p m(t) sin(2\pi f_c t)
\end{aligned}频域分析
S_{PM}(f) = \frac{A}{2}[\delta(f - f_c) + \delta(f + f_c)] + \frac{jAK_p}{2}[M(f - f_c) + M(f + f_c)]宽带角度调频系统
补充：贝塞尔函数及其性质
e^{\frac{x}{2}(t - \frac{1}{t})} = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}J_n(x)t^n, 0 \leq t \leq 1令t = e^{j\varphi}
e^{jxsin(\varphi)} = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}J_n(x)e^{jn\varphi}令x = \beta_{FM}, \varphi = \omega_m t，则
e^{j\beta_{FM}sin(\omega_m t)} = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}J_n(\beta_{FM})e^{jn\omega_m t}可以得到
\begin{aligned}
cos(\beta_{FM}sin\omega_m t) &= J_0(\beta_{FM}) + 2\sum_{n=1}^{+\infty}J_{2n}(\beta_{FM})cos2n\omega_m t \\
sin(\beta_{FM}sin\omega_m t) &= 2\sum_{n=1}^{+\infty}J_{2n-1}(\beta_{FM})cos(2n-1)\omega_m t
\end{aligned}宽带调频
宽带调频的分析非常复杂。以单品信号为例。
时域分析
s(t) = Acos(2\pi f_c t + \beta_{FM} sin(2\pi f_m t)) = Re[Ae^{2\pi f_c t}e^{j\beta_{FM} sin(2\pi f_m t)}]利用e^{j\beta_{FM}sin(\omega_m t)} = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}J_n(\beta_{FM})e^{jn\omega_m t}
可以得到
s(t) = Re[Ae^{2\pi f_c t}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}J_n(\beta_{Fm})e^{2\pi nf_m t}] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}AJ_n(\beta_{FM})cos[2\pi (f_c + nf_m) t]频域分析
S_{FM}(f) = \frac{A}{2}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}J_n(\beta_{FM})[\delta(f - f_c - nf_m) + \delta(f + f_c + nf_m)]可以看出，理论上调频信号的带宽是无限的。实际上边频幅度J_n(\beta_{FM})随着n的增大而逐渐减小，因此只要取适当的n值就可使边频分量小到可以忽略的程度，调频信号可近似认为具有有限频谱。同时选择合适的调制指数\beta_{FM}可以消除载波分量，使调制效率接近1。
单频调制时的频带宽度及卡森准则
忽略远侧边带，保留到n = \beta。
就可以得到卡森公式
B = 2(1 + \beta)f_m = 2(\Delta f_m + f_m)功率分配
\begin{aligned}
P_T &= \frac{A^2}{2} \\
P_c &= \frac{A^2}{2}J_0^2(\beta_FM)\\
P_s &= 2 \cdot \frac{A^2}{2}\sum_{n=1}^{\infty}J_n^2(\beta_FM)\\
\eta &= \frac{P_s}{P_T} = 1 - J_0^2(\beta_{FM}) = \sum_{n=-\infty, n \neq 0}^{+\infty}J_n^2(\beta_{FM})
\end{aligned}任意多频调制时的宽带调频信号分析
若
f(t) = A_{m1}cos\omega_{m1}t + A_{m2}cos\omega_{m2}t + \cdots + A_{mn}cos\omega_{mn}t 则
s_{FM}(t) = A\sum_{i_1}\sum_{i_2}\cdots\sum_{i_n}J_{i_1}(\beta_{FM1})J_{i_2}(\beta_{FM2})\cdots J_{i_n}(\beta_{FMn}) \times cos[2\pi (f + i_1f_{m1} + i_2f_{m_2} + \cdots + i_nf_{m_n})]实际应用中，一般取 \beta > 2, B = 2(\beta + 2)f_m
宽带调相
同理
调频信号的产生和解调
调频信号的产生
直接法
直接法就是用调制信号直接控制振荡器的电抗元件参数，使输出信号的瞬时频率随调制信号呈线性变化。目前人们多采用压控振荡器 (VCO) 作为产生调频信号的调制器。振荡频率由外部电压控制的振荡器叫做压控振荡器（ VCO ），它产生的输出频率正比于所加的控制电压。
间接法
间接法又称倍频法，它是由窄带调频通过倍频产生宽带调频信号的方法。
经 n 次倍频后可以使调频信号的载频和调频指数增为 n 倍。
调频信号的解调
相干解调
只能用于窄带调频
s(t) = Acos(2\pi f_ct) - AK_f\int m(t) dt sin(2\pi f_c t)非相干解调
使用鉴频器
实际典型电路
角度调制系统的噪声性能分析
相干解调性能分析
输入信号为
\begin{aligned}
s_i(t) + n_i(t) &= s_{NBFM}(t) + n_i(t) \\&= [A + n_I(t)]cos(\omega _c t) - [AK_f\int m(t) dt + n_Q(t)]sin(\omega_c t)
\end{aligned}输出信号为
s_o(t) + n_o(t) = \frac{AK_f}{2}f(t) + \frac{1}{2}\frac{d}{dt}n_Q(t)输入信号的功率
\begin{aligned}
S_i &= \frac{A^2}{2} \\
N_i &= 2n_0f_m
\end{aligned}输出信号的功率
\begin{aligned}
S_o &= \frac{A^2K_f^2E[f^2(t)]}{4}\\
N_o &= \frac{n_0W_m^3}{12\pi} = \frac{2n_0\pi^2f_m^3}{3}
\end{aligned}输入信噪比
SNR_i = \frac{A^2}{4n_0f_m}输出信噪比
SNR_o = \frac{3A^2K_f^2E[f^2(t)]}{8n_0\pi^2f_m^3}信噪比增益
G = \frac{3K_f^2E[f^2(t)]}{2\pi^2f_m^2} = 6\beta^2\frac{E[f^2(t)]}{max|f(t)|^2}单频调制时G = 3
非相干解调的性能分析
输入信噪比
SNR_i = \frac{S_i}{N_i} = \frac{A^2}{2n_0B_{FM}}输入信号
\begin{aligned}
s_i(t) + n_i(t) &= Acos[\omega_c t + K_f\int m(t) dt] + V(t)cos(\omega_c t + \theta(t))\\&=Acos[\omega_c t + \phi(t)] + V(t)cos(\omega_c t + \theta(t))\\ &= [Acos[\phi(t)] + V(t)cos[\theta(t)]]cos(\omega_c t) - [Asin[\phi(t)] + V(t)sin[\theta(t)]]sin(\omega_c t) \\&=B(t)cos[\omega_c t + \psi(t)]
\end{aligned}其中
\begin{aligned}
B(t) &= \sqrt{A^2 + V^2(t) + 2AV(t)cos[\theta(t) - \phi(t)]} \\
\psi(t) &= arctan\frac{Asin[\phi(t)] + V(t)sin(\theta(t))}{Acos[\phi(t)] + V(t)co(\theta(t))} \\
\varphi(t) &= \varphi_1 + arctan\frac{V(t)sin[\theta(t) - \phi(t)]}{A + V(t)cos[\theta(t) - \phi(t)]}
\end{aligned}假设信噪比足够大A >> V(t), S >> N，则
\varphi = \varphi_1 + \frac{V(t)}{A}sin[\theta(t) - phi(t)]鉴频器的输出
\begin{aligned}
V_o(t) &= \frac{k_d}{2\pi}\frac{d}{dt}\varphi(t)\\&=\frac{k_d}{2\pi}\frac{d}{dt}\varphi_1(t) + \frac{k_d}{2\pi A}\frac{d}{dt}[V(t)sin[\theta(t) - \phi(t)]]\\
s_o(t) &= \frac{k_dK_f}{2\pi}f(t)\\
n_o(t) &= \frac{k_d}{2\pi A}\frac{d}{dt}[V(t)sin(\theta(t) - \phi(t))]
\end{aligned}输出噪声功率谱密度
n_o(f) = n_0|H(f)|^2 \cdot (\frac{k_d}{2\pi A})^2 = n_0 (\frac{k_d^2}{A^2})^2 f^2输出噪声功率
N_o = \int_{-f_m}^{+f_m}n_0(f)df = \frac{2n_0k_d^2}{3A^2}f_m^3输出信噪比
SNR_o = \frac{3A^2K_f^2E[f^2(t)]}{8\pi^2n_0f_m^3}信噪比增益
G_{FM} = 3\beta^2\frac{E[f^2(t)]}{max|m(t)|^2} \frac{B_{FM}}{f_m}对于采用单频调制
G_{FM} = 3\beta^2(1 + \beta)角度调制的门限效应
在小输入信噪比时，解调输出信号与噪声相混合，以致不能从噪声中分辨出信号来，此时的输出信噪比急剧恶化，这种情况与幅度调制包络检波时相似，也称之为门限效应。出现门限效应时所对应的输入信噪比的值被称为门限值。当解调输入信噪比低于门限值时，输出信噪比急剧下降。
当信噪比较小时，则有
\varphi(t) = \theta(t) + \frac{A}{V(t)}sin[\theta(t) - \phi(t)]
通常改善门限效应的解调方法是采用反馈解调器和锁相解调器。
频分多路复用技术及其应用
引言
一般说来，在通信过程中不管采用何种调制方式，单路通信都需要占用一定的频率资源，但实际传输系统的频带资源一般都远大于单路通信所需的带宽。为了有
效地利用信道的频带资源，就需要信道能够传输多路通信信号，由此就产生了频分多路复用（ FDM ）技术。
频分多路复用（ FDM ）理论
FDM的产生背景：为了更有效地利用实际信道的频谱资源，以便实现多路通信信号的同步传输。
复用
若干路独立的信号合成为一复合信号在同一信道中传输称为复用。在一个信道中同时传输多路信号而互不干扰，可以提高信道的利用率。
频分复用（FDM）
FDM(Frequency Division Multiplexing)是按频率分割多路信号的方法，即将信道的可用频带分成若干互不交叠的频段，每路信号占据其中的一个频段。在按收端用适当的带通滤波器将多路信号分开，分别进行解调和终端相关处理。
FDM相关参数
f_{c_{i + 1}} = f_{c_i} + (f_m + f_g), i = 1, 2, ..., n其中
f_{c_i}, f_{c_{i+1}}分别为第i路和第i+1路载频的频率f_m为每一路的最高频率 （频谱范围）- 邻路间隔防护频带
称B_1 = f_m + f_g为每一路所占的带宽
n路单边带信号的总频带宽度最小为
B_n = nf_m + (n - 1)f_g =(n-1)B_1 + f_m
相邻载波之间的间隔\Delta B = B_s + B_g
- FDM 的优点是信道利用率高，允许复用的路数多，分路也很方便。
- FDM 的缺点是设备复杂，不仅需要大量的调制器、解调器和带通滤波器，而且还要求接收端必须提供相干载波。
频分多路复用技术的实际应用
主要应用举例
- 载波电话系统
- 调幅广播
- 调频广播
- 广播电视
- 卫星直播电视
- 闭路电视（ CATV ）广播
- 模拟移动电话
- 通信卫星中的频分多址(FDMA)
载波电话技术
在一对传输线上同时传输多路模拟电话称为载波电话。载波电话使用单边带调制的频分复用方式，相应的复用设备称为载波机。
载波电话分群等级标准 :
基群 12路x4kHz=48kHz 60~108kHz
超群 60 路 240KHz 312~552kHz
基本主群 300 路 1200KHz 812~2044kHz
基本超主群 900 路 3600KHz 8516~12388kHz
模拟信号的数字化传输
引言
模拟信号 -> 低通 -> 抽样 -> 量化 -> 编码 -> 数字信号
奈奎斯特抽样定理
低通抽样定理
设基带信号m(t)，其最高截止频率为f_m，如果用时间间隔T_s \leq \frac{1}{2f_m}的开关信号对m(t)进行抽样，则m(t)可以被样值信号m_s(t)来唯一地表示。
m(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}m(nT_s) \cdot Sa[(t - nT_s)\frac{\omega_s}{2}] ,~~~ \omega_s \geq 2\pi f_mT_s为码元间隔
理想低通抽样分析
\begin{aligned}
m_s(t) &= m(t) \cdot s_T(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}m(nT_s)\delta(t - nT_s)\\
M_s(\omega) &= \frac{1}{2\pi}M(\omega) * \frac{2\pi}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(\omega - n\omega_s) \\&= \frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}M(\omega - n\omega_s)
\end{aligned}理想低通抽样中，信号的频谱呈周期性变化，基带信号成分无失真。
信号的恢复
将抽样信号通过一个LPF，就可以得到原信号的频谱，进而恢复原始信号。
M(\omega) = M_s(\omega)H(\omega)低通滤波器H(\omega)的截止频率f_H = f_m，增益为C
h(t) = F^{-1}[H(\omega)] = \frac{C\omega_m}{\pi}Sa(\omega_mt)m_o(t) = m_s(t) * h(t) = [\sum_{n=-\infty}^{+\infty}m(nT_s)\delta(t - nT_s)] * \frac{C\omega_s}{\pi}Sa(\omega_st)当C = \frac{1}{2f_s}
m_o(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}m(nT_s) \cdot Sa[(t - nT_s)\omega_m]这个公式被称为内插公式
以奈奎斯特速率抽样的带限信号可以由其样值利用内插公式重建。
带通信号抽样定理
若带通信号m(t)的频率在f_L和f_H范围内，带宽B = f_H - f_L，则其最低抽样频率为
f_{smin} = \frac{2f_H}{k} = \frac{2(mB + kB)}{k} = 2B(1 + \frac{m}{k})其中k = f_H mod B, m = \frac{f_H}{B} - k
若f_H >> B，可以认为f_s = 2B
当f_s >> 2B(1 + \frac{m}{k})时，可能发生频谱混叠现象。
脉冲振幅调制(PAM)
在时间上离散的脉冲信号序列，同样可以作为载波，这时的调制是用基带信号去通过改变脉冲的波形参数而达到的，人们把这种调制称为脉冲调制。
- 脉冲幅度调制PAM：用基带信号m(t)去改变脉冲的幅度
- 脉冲宽度调制PDM/PWM：用基带信号m(t)去改变脉冲的宽度
- 脉冲相位调制PPM：用基带信号m(t)去改变脉冲的相位
非理想抽样（或自然抽样）
抽样函数s_T(t)为有一定宽度的矩形脉冲序列时，称为非理想采样
\begin{aligned}
s_T(t) &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty}S(t - nT_s)\\
s_T(\omega) &= \frac{2\pi\tau}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}Sa(\frac{n\omega_s\tau}{2})\delta(\omega - n\omega_s)
\end{aligned}\begin{aligned}
M_s(\omega) &= \frac{1}{2\pi}M(\omega) * S_T(\omega)\\
&= \frac{\tau}{T}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}Sa(\frac{n\omega_s\tau}{2})M(\omega - n\omega_s)
\end{aligned}非理想抽样后的样值序列具有以下特点
- 频谱呈现准周期性，幅度逐渐减小。
- 基带成分无失真。
经过LPF后可得到
M_o(\omega) = \frac{\tau}{T_s}M(\omega)非理想抽样可以无失真地恢复原始基带信号。
事实上，利用任何一种类型的周期序列作为抽样序列，都可以无失真地恢复出原始基带信号。
自然抽样是采用矩形脉冲进行抽样的，样值信号（或已抽样信号）m_s(t)的脉冲顶部是随着m(t)的变化而变化的，这是一种曲顶的PAM。
能够得到平顶的PAM的抽样方法称为平顶抽样（前平顶、中平顶、后平顶）。
评定抽样可以使用抽样保持器实现。
平顶抽样后，频谱准周期地出现，但是基带成分有失真，产生所谓孔径效应。解决办法是在接收端恢复信号时增加一个孔径效应均衡网络使
经过孔径效应补偿低通滤波器之后，可以无失真地恢复原始信号。
模拟信号的量化
量化的定义是抽样值离散化的过程。将幅度连续变化的信号变成幅度离散变化的信号的处理过程就叫量化。
量化器的主要参数：量化范围、量化电平数、分层电平、量化电平、量化误差、量化间隔
量化噪声、量化噪声功率、量化信噪比
量化可以分为
- 均匀量化
- 非均匀量化
- 量化范围(
V_1,V_2) (-V, +V) - 量化电平数(分层级数、量化级数)
N - 分层电平
x_i - 量化电平
q_i - 量化间隔(量阶/量化级)
\Delta v_i = x_{i + 1} - x_i - 量化误差
e_{qi} = x - q_i - x的动态范围 (-a, +a)
- a > V 过载
- a = V 满载
- 过载量化噪声功率
N_{q0} = \int_{-a}^{-V}(x + V)^2f(x)dx + \int_{V}^{a}(x - V)^2f(x)dx - 量化噪声功率
N_q = \sum_{i=1}^{N}\int_{x_i}^{x_{i+1}}(x -q_i)^2f(x)dx - 量化信号功率
S_q = \sum\int q_i^2f(x)dx - 量化信噪比
\frac{S}{N_q} - 均匀量化
\Delta v_i = \Delta v = \frac{2V}{N} = \frac{2a}{M} - 非均匀量化
\Delta v_i \neq C - 均匀量化器量化噪声功率
N_q为常数，故小信号的量化信噪比小，大信号的量化信噪比大。
均匀量化
\Delta V = m_i - m_{i-1}q_i = \frac{m_{i} + m_{i-1}}{2}S = \int_{-a}^{a}x^2f(x)dx = \frac{1}{3}N_q = \frac{\Delta V^2}{12}\frac{S}{N_q} = 10logN^2 = 20logN dB- 假设用n位二进制码对量化后的值编码
N = 2^n，则\frac{S}{N_q} = 6n dB - 假设用n位M进制码对量化后的值编码，
N=M^n，则\frac{S}{N_q} = 20nlogM dB
对于实际语音信号S = \sigma^2, N_q=\frac{V^2}{3l^2}, \frac{S}{N_q}= 10log(3D^2N^2) dB
非均匀量化
\mu律对数压缩特性
y = \frac{ln(1 + \mu x)}{ln(1 + \mu)}, 0 \leq x \leq 1\mu = 255美国日本用
A律对数压缩特性
y = \begin{aligned}
\begin{cases}
\frac{Ax}{1 + lnA}, & 0\leq x\leq \frac{1}{A}\\
\frac{1 + lnAx}{1 + lnA},& \frac{1}{A} \leq x \leq 1
\end{cases}
\end{aligned}中国欧洲用
A=87.6,A律十三折现逼近
量化信噪比改善
Q = \frac{SNR_{非均匀}}{SNR_{均匀}} = \frac{\Delta y^2}{\Delta x^2} = 20log\frac{dy}{dx} dB常采用13折线法来逼近A律，简称A律13折线；用15折线法来逼近μ律
A律十三折线画法
- x轴: 0, 1/128, 1/64, 1/32, 1/16, 1/8, 1/4, 1/2, 1。最小量化间隔
\Delta = \frac{1}{128} \times \frac{1}{16} = 2^{-11}，相当于12位均匀量化 - y轴：0， 1/8， 1/4， 3/8， 1/2， 5/8， 3/4， 7/8， 1。最小量化间隔
\Delta = \frac{1}{2} \times \frac{1}{16} = 2^{-5}，相当于6位均匀量化
\mu律十五折线画法
- x轴:
x = \frac{2^i - 1}{255}, i = 0, 1, ..., 8 - y轴：均匀分割16份
脉冲编码调制(PCM)
A律PCM编码
8位，C_1C_2C_3C_4C_5C_6C_7C_8，其中C_1为极性码(1正0负)，C_2C_3C_4为段落码，C_5C_6C_7C_8为段内码。
A律PCM编码原理
正信号：8段，7个斜率
负信号：8段，7个斜率
总共16段13个斜率的折线，每一个斜率段再等分为16段。
x最小量化间隔: \Delta_{min} = \frac{1}{128} \times \frac{1}{16} = 2^{-11}，等效12位均匀量化。
x最小量化间隔: \Delta_{max} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{16} = 2^{-5}，等效6位均匀量化。
| 段号（S） | 起始幅度范围 | 步长 Δ | 区间个数 | 每个量化区间中心电平值（示例） |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 ～ 1/2048 | 1/2048 | 16 | ±1/4096, ±3/4096, ..., ±31/4096 |
| 1 | 1/2048 ～ 1/1024 | 2/2048 | 16 | ±3/2048, ±9/2048, ..., ±61/2048 |
| 2 | 1/1024 ～ 1/512 | 4/2048 | 16 | ±5/1024, ±15/1024, ..., ±125/1024 |
| 3 | 1/512 ～ 1/256 | 8/2048 | 16 | ±9/512, ±27/512, ..., ±253/512 |
| 4 | 1/256 ～ 1/128 | 16/2048 | 16 | ±17/256, ±51/256, ..., ±509/256 |
| 5 | 1/128 ～ 1/64 | 32/2048 | 16 | ±33/128, ±99/128, ..., ±1023/128 |
| 6 | 1/64 ～ 1/32 | 64/2048 | 16 | ±65/64, ±195/64, ..., ±2047/64 |
| 7 | 1/32 ～ 1.0 | 128/2048 | 16 | ±129/32, ±387/32, ..., ±4095/32 |
编码
逐次比较型编码器
译码
8/13变换：收8位对数PCM变为13位线性PCM，可将量化误差减少为最小值
目的：增加一个横流电流\frac{\Delta_i}{2}，将量化电平从区间左端点移到区间中点，减小最大量化误差，使最大量化误差不大于\frac{\Delta_i}{2}
PCM 信号的比特率和传输带宽
假设抽样速率f_s = 2f_H，编码位数位N
R_B = R_b = f_s \cdot N = 2f_H \cdot N当采用非归零矩形脉冲传输时
B = R_b理想低通带宽B_{min} = \frac{R_B}{2} = f_H \cdot N
实际传输带宽(升余弦滚降\alpha = 1) B = R_B = f_s \cdot N
PCM 系统的抗噪声性能
PCM系统中的噪声有两种:量化噪声和信道噪声。
\frac{S_o}{N_o} = \frac{S_o}{N_q + N_e}仅考虑量化噪声时（均匀量化）
\frac{S_o}{N_q} = M^2 = 2^{2N}仅考虑加性噪声
\frac{S_o}{N_e} = \frac{1}{4P_e}P_e为误码概率
故
\frac{S_o}{N_o} = \frac{2^{2N}}{4P_e2^{2N} + 1}(自然编码 均匀量化 信号均匀分布)
差分脉冲编码调制(DPCM)
SNR = G_{DPCM} \cdot 2^{2N}
自适应差分脉冲编码调制ADPCM
简单增量调制(\Delta M)
- 它是在PCM方式的基础上发展起来的另一种模拟信号数字化传输方式。
- 最早由法国工程师De Loraine于1946年提出，其目的在于简化模拟信号的数字化方法。
- 广泛应用于军事和工业部门的专用通信网以及卫星通信中。在高速大规模集成电路中用作A/D转换器。
- △M是预测编码中最简单的一种
预测编码的概念
预测编码方式
- 根据过去的信号样值预测下一个样值，并仅把预测值与现实的样值之差（预测误差）加以量化、编码后进行传输的方式
- 在接受端经过和发送端的预测完全相同的操作可以得到量化的原信号，然后再通过低通滤波便可恢复原信号的近似波形
预测编码的好处
- 如果能进行适当的预测，便可期望预测误差的幅度变化范围比信号自身的振幅变化范围小
- 若解调后的量化噪声相同，则传输预测误差的方式所需的量化比特数将比传输信号瞬时振幅值得一般PCM方式所需的量化比特数少，或者在比特数与PCM方式相同的情况下，可获得更高的传输质量
\Delta M（DM）是DPCM的一种特例。只用一位编码，该码不是表示信号抽样值的大小，而是表示抽样时刻波形的变化趋势，即当前值与预测值差值的极性。
给定量化间隔\Delta，DM能跟踪最大斜率为f_s\Delta的信号，称为临界过载情况下最大跟踪斜率。
量化噪声
- 纯量化误差: DM的取样速率≥信号的变化速率时——正常误差
- 斜率过载噪声: D的取样速率﹤信号的变化速率时，即增量量化跟不上信号的变化——DM中主要的失真
- 增加△M的取样速率，这会降低压缩数码率的能力，即降低△M的有效性
- 根据信号的速率改变△M的量化间隔值
- 空载噪声: 输入信号变化缓慢，甚至为0时，输出码流为一个0与1交替的序列
PCM和DM的对比
抽样频率
- PCM：
f_s \geq 2f_H - DM:
|\frac{df(t)}{dt}|_{max} \leq f_s \cdot \Delta
为了不至发生过载现象，DM的抽样频率比PCM的高的多
带宽
- PCM:
f_s \cdot N - DM:
f_s \cdot \Delta M
信噪比
量化信噪比
对于单频正弦波，无过载，低通滤波截至频率为f_m，在临界振幅A = \frac{\Delta f_s}{\omega_k}下
\frac{S_o}{N_q} = \frac{3}{8\pi^2}(\frac{f_s^3}{f_k^2f_m}) N < 4时，DM优于PCM
N > 4时，PCM优于DM
误码信噪比
单频，临界振幅，语音频带截止频率f_1
\frac{S_o}{N_e} = \frac{f_1f_s}{16P_ef_k^2}- PCM:
- DM
码元速率
PCM: R_B = R_b = f_s \cdot N
DM: R_B = R_b = f_s
带宽
理想低通带宽
- PCM:
B_{min} = \frac{R_B}{2} = f_H \cdot N - DM:
B_{min} = \frac{R_B}{2} = \frac{f_s}{2}
实际传输带宽
- PCM:
B = R_B = f_s \cdot N - DM:
B = R_B = f_s
信道误码的影响
- PCM允许误码率
P_e < 1e-6, PCM对误码率敏感。错一位可造成许多量阶的损失，所以对信道误码率的要求相对较高。 - PCM允许误码率
P_e < 1e-3, PCM对误码率不敏感。一个码元只代表一个量阶，一个码元的误码只损失一个增量，所以它对误码不太敏感。
时分多路复用(TDM)技术及其应用
时分复用概念
- 多路信号在时域上互不重叠、互不干扰的传输方式
- 特点：在频域上多路信号是重叠，但在时域上是分离的
理论基础
抽样定理
在一个采样周期内，分N路时隙，每个时隙传送一路样值，N个时隙构成一帧。
TDM信号的参数
f_s = 2f_mT_s = \frac{1}{f_s} = \frac{1}{2f_m}- 时隙
T_i = \frac{T_s}{N} = \frac{1}{2Nf_m} - 码元宽度
T_b = \frac{T_i}{n} = \frac{1}{Nnf_s}=\frac{1}{2Nnf_m} - 最小信道带宽
F_c = \frac{1}{2T_b} = Nnf_m - 数码速率
f_b = \frac{1}{T_b} = 2Nnf_m
A律TDM-PCM30/32制式
在A律TDM-PCM30/32制式中，一个抽样周期被等分为32个时隙，每时隙为3.91\text{μs}，并顺序从0到31编号，分别记作TS_0，TS_1， ..., TS_{31}，其中TS_1到TS_{15}和TS_{17}到TS_{31}这30个路时隙用来传送30路电话信号的话音编码码组，TS_0分配给帧同步，TS_{16}专用于传送30个话路的信令码和复帧同步码。帧同步时隙、信令时隙和30个话路时隙这32个时隙的信号共同形成一帧，占用一个抽样周期的时间，信号在信道中一帧接着一帧地传输。每个时隙内传送8位码，每位码采用50\%占空比的脉冲，脉冲占244ns。
复帧：一帧中的TS_{16}只有8位码，不足以传送30个话路的标志信号，所以必须将16帧构成一个更大的帧，称为复帧。复帧的重复频率为8000 \div 16 = 500\text{Hz}，周期为125 \times 16 = 2.0\text{ms}。
在PCM30/32系统中，总的数码速率为：
(8 \times 32) \times 8000 = 2048 \text{ K bit/s} = 2.048 \text{ Mb/s}
总结一下，每路PCM的抽样频率f_s = 8kHz，T_s = \frac{1}{8000}s = 125\mu s，一帧有32\times 8 = 256 bit，所以R_b = \frac{256}{T_s} = 8\times 32\times 8000 = 2.048Mb/s。每比特时间t_b = \frac{1}{R_b} = 0.488\mu s，每路时隙宽度t_i = 8t_b = 3.91\mu s
奈奎斯特带宽B_{min} = \frac{B}{2} = 1.024MHz
\mu律TDM-PCM24制式
在\mu律TDM-PCM24制式中，一个抽样周期的125\text{μs}被分成193个码元，组成一帧。
12帧构成一个复帧，复帧周期为1.5\text{ms}。
每帧193个码元中帧首编号为1的位交替传送帧同步码和复帧同步码。其中12帧中的奇数帧的第1位码元构成101010帧同步码组，而偶数帧的第1位码元构成复帧同步码00111，第12帧的第1位码用作对端告警用。
每帧中其余192位码元每8位构成一路时隙，用于传送24路电话信号。
PCM24制式采用话音时隙内信令，每复帧中的第6帧和第12帧指定作为信令帧。在每个信令帧中，各路时隙的第8位即PCM码的最低位，用来传送该路信令。即每6帧中有5帧的样值按8比特编码，而有1帧按7比特编码。
在PCM24系统中，总的数码速率为：
(8 \times 24 + 1) \times 8000 = 1.540 \text{ Mbps}
数字信号的基带传输系统
引言
传输模型
信源->信源编码->信道编码->数字调制->信道->数字解调->信道译码->信源译码->信宿
数字信号的传输方式
- 基带传输：不经过调制而直接传送的方式，即发送端不使用调制器，接收端也不使用解调器。
- 频带传输：使用调制解调器。即发送端使用调制器，接收端使用解调器
数字基带信号
- 特点是未经调制的信号所占频带是从直流或低频开始，其带宽是有限的
- 信号波形的功率谱密度为低通型的数字信号
传输系统一般模型：
数字基带信号->信道信号成型器->信道->接收滤波器->抽样判决
数字频带信号
- 经过调制，将数字基带信号的频谱搬移到高频端的方式
- 信号波形的功率谱密度为带通型的数字信号
传输系统一般模型：
m(t)->调制器->发送滤波器->信道->接收滤波器->解调
数字基带信号波形及其功率谱密度
数字基带信号码型的设计原则
- 码型中低频、高频分量要尽量少
- 码型编译码过程应对任何信源具有透明性，即与信源的统计特性无关
- 便于从基带信号中提取位定时信息
- 具有内在的检错能力，便于监测信号传输质量
- 误码增殖越少越好
- 编译码设备尽量简单
数字基带信号常用码型
单极性不归零波形 NRZ
- 脉冲宽度
\tau等于码元宽度T_s - 电传机等数字终端机都是发送或者接收这种波形
- 此码型不宜传输，主要原因:1）有直流，一般信道难于传输零频附近的频率分量；2）收端判决门限与信号功率有关，不方便；3）不能直接用来提取位同步信号，因NRZ中不含有位同步信号频率成分；4）要求传输线有一根接地。
双极性不归零波形 BNRZ
- τ=Ts, 有正负电平。不能直接提取位同步信号
单极性归零波形 RZ
占空比 = \frac{\tau}{T_b}- 可用来提取位同步信号，NRZ所拥有的其他缺点存在。
双极性归零波形 BRZ
- NRZ码的缺点都不存在，整流后可提取位同步信号。
差分波形（反映相邻代码的码元变化 ）
b_n = a_n \oplus b_{n-1}a_n = b_n \oplus b_{n-1}
多电平（多进制）波形
时域图
组成基带信号的单个码元并非一定要是
矩形的，也可以是其他形状，如三角形、
高斯型、升余弦、半余弦脉冲等
功率谱密度
数字基带信号可以表示为
s(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_ng_T(t - nT_s)假设s(t)是d(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n\delta(t - nT_s)通过G_T(f)的输出
可以求得，当a_n为不相关序列时
\overline{R}_d(\tau) = \frac{1}{T_s}\sum_m R_a(m)\delta(\tau - mT_s)\begin{aligned}
P_s(f) &= \frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}R_a(n)e^{-2\pi nT_s}|G_T(f)|^2\\&=\frac{1}{T_s}P_a(f)|G_T(f)|^2 \\&= \frac{1}{T_s}[\sigma_a^2 + \frac{ m_a^2\sum_{n=-\infty}^{+\infty}e^{-j2\pi fnT_s}}{T_s}]|G_T(f)|^2 \\&= \frac{1}{T_s}[\sigma_a^2 + \frac{m_a^2}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(f - \frac{n}{T_s})]|G_T(f)|^2 \\&= \frac{\sigma_a^2}{T_s}|G_T(f)|^2 + \frac{m_a^2}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|G_T(\frac{n}{T_s})|^2\delta(f - \frac{n}{T_s})
\end{aligned}其中第一项为连续谱线分量，其形状取决于G_T(f)，第二项为离散谱线分量，谱线间隔为\frac{1}{T_s}，如果a_n的均值为0，则没有离散谱线。
双极性不归零码
P_s(f) = A^2A_b^2T_ssinc^2(fT_s)单极性归零码
P_s(f) = \frac{A^2}{16}A_b^2T_ssinc^2(\frac{fT_s}{2}) + \frac{A^2A_b^2}{16}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}sinc^2(\frac{n}{2})\delta(f - \frac{n}{T_s})相关编码与功率谱
不相关序列进一步进行相关编
码，即引入符号之间的记忆可以
改变它的功率谱分布特性。
数字基带信号的频谱分析
目的:
- 选择合适的码元脉冲，以求最有
效的传输 - 利用离散谱分量（周期性信号分
量）来提取同步信息
常用线路码型（传输码）
传号交替反转码AMI
变换规则
- 0 -> 0
- +1 -1交替出现 -> 1
优点
- 脉冲波形极性对称，功率谱中无离散的直流分量
- 低频及高频分量很小
- 无离散的时钟分量
- 整流后即为RZ码，收端易于提取定时信息
- 具有检错能力
缺点: 功率谱特性与信源统计特性密切相关；出现长串连“0”码时，难以提取时钟（位同步抖动大，即位同步不稳定）
三阶高密度双极性码HDB3
编码规则
- 与AMI码类似：“1”变换为+1或-1的线路码，映射为+A和-A的半占空归零码
- 与AMI码不同：连“0”数被限制为≤3；当出现4个连0码时，就用特定码组000V或B00V（取代节）进行取代。
- V——破坏极性交替规律的传号，称为破坏点；
- B——符合极性交替规律的传号
- V的极性与前一个传号码极性相同
- 任意两个相邻V脉冲间的B脉冲数目为奇数
优点
- 消除了AMI码中出现长串连“0”码时难于提取时钟的问题，易于提取定时信息
- 正负脉冲平衡，无直流分量
- 具有检错能力
检查所编的HDB3码是否正确
- 检查V符号
- 是否每4个连0串的第4个0换成V符号
- V符号的极性是否与前一非0符号同极性
- 相邻V符号的极性应符合交替反转规律
- 将已编HDB3码中的V符号暂时取下，然后观察剩下码字（含B符号）是否符合正负极性交替规律，即相邻的B符号也应满足极性交替规律。
用途：CCITT 建议HDB3码为 PCM 一~三次群线路接口码型。
数字双相码(分相码、曼彻斯特码)
编码规则
- 用10表示“1”，01表示“0” （码元中间有跳变）
- 可视为单极性非归零码NRZ与定时信号的模二和结果
主要特点
- 在接收端利用简单的非线性变换后提取时钟方便
- 但提取的时钟频率是符号速率的两倍，二分频后得到的
定时信号，必定存在相位的不确定问题。
用途：以太网中，5类双绞线传输10Mbps数据传输的接口线路码
条件双相码CDP（差分曼彻斯特码）
编码规则
- 采用差分码的概念，将数字双相码中用绝对电平表示的波形改为用相对变化的电平
- 传号差分码与定时信号进行模二和，相邻周期的方波同相则代表0，反相表示1
特点：同数字分相码，但避免了数字分相码中的相位不确定问题
用途：TokenRing（令牌环）环型局域网中的数据传输接口码型。
传号反转码CMI(1B2B码)
二电平非归零码
变换规则
- “1”交替用00和11两位码组表示
- “0”固定用01表示；10禁用
码型特点
- 易于提取定时信息；
- 具有检错能力；
- 在正常情况下，“10”码组不可能在波形中出现，也不可能出现大于 3个的连‘0’或连‘1’。
用途：CCITT 建议 CMI 码为PCM 四次群(139 . 264Mb/s )接口码型。
密勒码
编码规则
- 1用 “01”表示
- 0用 “00”或“10”表示（相对于前一输入比特有跃变）
编码特点
- 密勒码最大宽度为两个码元周期，而最小周期为一个码元周期
- 其功率谱密度集中于1/2符号速率（Rb）以下的频率范围
- 无离散直流的分量
- 频带宽度为数字双相码的一半
- 具有一定误码检测功能
延迟调制码
1）编码规则：先密勒编码，然后差分编码
2）码型特点：同密勒码，有4种码型
3）用途：磁记录传输媒介（磁带或磁盘）的接口码型
nBmB码（线性分组码）
编码规则
- 消息代码
\underrightarrow{\text{分组}}n (bit/组)\underrightarrow{\text{(m > n)}}m (bit/组)
码型特点
- 增加码位 产生禁用码组 提高检错能力
4B3T码
编码规则：
- 把4个二元码换成3个三元码，即从27种组合中选取其中的16种组合进行编码
- 与5B6B码类似，采用双模式（正负模式）
- 4B3T编码表（略）
通过加性白高斯噪声信道传输的数字基带信号的接收系统
两种解调方案
- 用低通滤波器LPF限制信道引入的噪声，单边带宽
B＞\frac{2}{T_b}，让所传输的基带信号基本不失真地通过 - 采用与发送信号相匹配的匹配滤波器，以获得在抽样时刻的最大信噪比，使接收系统的误码率最小
基于低通滤波的接收解调方案
y(t) = s_i(t) + n_L(t)其中n_L(t)是白噪声n_w(t)通过LPF的输出
假设s(t)为NRZ码，在t = t_0 + kT_b时刻进行抽样判决
y(t_0 + kT_b) = \begin{aligned}
\begin{cases}
A + n, & s_i = 1\\
-A + n, & s_i = 0
\end{cases}
\end{aligned}其中n = n_L(t_0 + kT_b)，抽样瞬时的噪声n是均值为0、方差为N_0B的高斯随机变量。
误码率分析
发1时
E(y|s_1) = AD(y|s_1) = N_0Bp(y|s_1) = p_1(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi N_0B}}e^{-\frac{(y - A)^2}{2N_0B}}
发0时
E(y|s_0) = -AD(y|s_0) = N_0Bp(y|s_0) = p_0(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi N_0B}}e^{-\frac{(y + A)^2}{2N_0B}}
判决门限的确定
以平均错判概率最小的准则来确定判决门限V_T
p(e|s_1) = \int_{-\infty}^{V_T}p_1(y)dyp(e|s_2) = \int_{V_T}^{+\infty}p_1(y)dy
P_b = p(s_1)p(e|s_1) + p(s_2)p(e|s_2)令\frac{dP_b}{dV_T} = 0，得
V_T = \frac{N_0B}{2A}ln\frac{p(s_1)}{p(s_2)}P_b = Q(\sqrt{\frac{A^2}{N_0B}})基于匹配滤波器的最佳接收解调方案
误码率分析
发1时
y = y(T_b) = \int_{0}^{T_b}[s_1(\tau) + n_w(\tau)]s_1(\tau) d\tau = E_b + Z其中
Z = \int_{0}^{T_b} n_w(\tau)s_1(\tau) d\tau则Z为高斯随机变量，它的条件均值及方差为
E(Z|s_1) = 0D(Z|s_1) = \frac{N_0B}{2} = \sigma^2
p_1(y) = \frac{1}{2\pi \sigma^2}e^{-\frac{(y - E_b)^2}{2\sigma^2}}发0时
p_2(y) = \frac{1}{2\pi \sigma^2}e^{-\frac{(y + E_b)^2}{2\sigma^2}}判决规则:
y > V_T输出 1y < V_T输出 0
可以求得
V_T = \frac{\sigma^2}{2E_b}ln\frac{p(s_1)}{p(s_1)}两种接收方案的比较
在加性白高斯噪声干扰下，利用匹配滤波器的最佳接收，其平均误比特率比利用低通滤波器方案的小。因为匹配滤波器在 AWGN 信道中是最大化信噪比（SNR）的最佳线性滤波器，能最大程度抑制噪声并还原信号，因此平均误比特率最低。
在相同\frac{E_b}{N_0}的条件下，双极性不归零码的最佳接收平均误比特率比单极性不归零码的要小。
数字PAM信号通过限带基带信道的传输
限带基带信道
实际数字通信中的信道往往是限带信道
用限带的线性滤波器来模拟以上基带信道或等效基带信道
理想信道和非理想信道
理想信道
- 在
|f| < W内，|C(f)|恒定，\theta(f)是理想线性函数，即\tau_G(f)恒定 - 为了有效利用信道带宽W，可合理设计通过信道传输后的信号脉冲波形，实现在收端抽样时刻的无码间干扰传输，并可使所传输的符号速率
R_B \geq W
非理想信道
- 信道特性非理想时，若
R_B \geq W，在抽样时刻会存在码间干扰 - 在收端抽样之前加上信道均衡器，补偿信道特性的不完善，以减少在抽样点的码间干扰
数字PAM基带传输及码间干扰
s(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_ng_T(t - nT_s)r(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_nh(t - nT_s) + n(t), h(t) = c(t) * g_T(t)y(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_nx(t - nT_s) + n(t) * g_R(t)其中x(t) = c(t) * g_T(t) * g_R(t)
抽样值
y(mT_s) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_nx(mT_s - nT_s) + n(mT_st) * g_R(mT_s)y_m = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_nx_{m-n} + \gamma_m = x_0a_m + \sum_{m \neq n}a_nx_{m-n} + \gamma_m所期望接收的信号是a_m。第二项为其他符号通过系统传输后在抽样时刻的响应之和，即码间干扰。
- 由于系统传输特性的影响，使相邻码元的脉冲波形相互重叠（即码间干扰），从而影响抽样时刻的正确判决
- 不同于加性噪声，码间干扰随信号的出现而出现，随信号的消失而消失——乘性干扰。
无码间干扰基带传输的奈奎斯特准则
- 基带总传递函数
X(f) = G_T(f)C(f)G_R(f) - W为
X(f)的截止频率 - 理想低通滤波器的截止频率若为
W，则不产生码间干扰时的最高码元速率为2W
为了满足无码间干扰，应
x(nT_s) = \begin{aligned}
\begin{cases}
1, &n = 0\\
0, &n \neq 0
\end{cases}
\end{aligned}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}X(f + \frac{n}{T_s}) = T_s这就是奈奎斯特第一准则
令Z(f) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}X(f + \frac{n}{T_s}) = T_s
Z(f)为周期函数，T = \frac{1}{T_s}\frac{1}{T_s} = f_s = R_B = 2W(（奈奎斯特速率)，当且仅当X(f) = T_srect(\frac{f}{2W}), x(t) = sinc(2Wt)，即该传递函数是理想低通时，才能够满足无码间干扰传输的条件
奈奎斯特第一准则
基带传输系统的传递函数是理想低通
- 其频带宽度为
W- (奈奎斯特带宽) - 该系统无码间干扰传输的最小
T_s = \frac{1}{2W} - 最大符号速率
R_b = \frac{1}{T_s} = 2W Baud- (奈奎斯特速率) - 系统最高频带利用率为 2 Baud/Hz
理想情况下，系统的频带利用率达到极限，但是存在以下问题
- x(t)是非因果的，物理上无法实现
- x(t)的冲激脉冲收敛速度非常缓慢，对抽样时刻要求高
为得到无码间干扰的传输特性，系统传递函数不必是矩形，而允许是具有缓慢下降边沿的任何形状，只要此传递函数是实函数并且在f=W处满足奇对称关系。一种合理的方案就是所谓升余弦滤波器。
升余弦滚降滤波器
H(w) = \frac{T_s}{2}[1 + cos\frac{\omega T_s}{2}], |w| \leq \frac{2\pi}{T_s}h(t) = \frac{{sin\frac{\pi t}{T_s}}}{\frac{\pi t}{T_s}} \cdot \frac{cos\frac{\pi t}{T_s}}{1 -\frac{ 4t^2}{T_s}}升余弦滤波器性能与应用
把锐截止变成缓慢截止，这样的滤波器就是物理可实现的
令\alpha = \frac{W_1}{W}, 0\leq \alpha \leq 1称为滚降因子。
- 表示滤波器截止特性的"圆滑"程度,即过渡带的大小
\alpha越大，X(f)衰减越快，传输可靠性越高；但所需传输频带越宽，频带利用率降低
升余弦滤波器
X(f) = \begin{aligned}
\begin{cases}
T_s, & 0\leq|f|\leq \frac{1 - \alpha}{2T_s}\\
\frac{T_s}{2}[1 + cos[\frac{\pi T_s}{\alpha}(|f| - \frac{1 - \alpha}{2T_s})]], & \frac{1 - \alpha}{2T_s} \leq |f| \leq \frac{1 + \alpha}{2T_s} \\
0, &|f| > \frac{1 + \alpha}{2T_s}
\end{cases}
\end{aligned}冲激响应
x(t) = \frac{{sin\frac{\pi t}{T_s}}}{\frac{\pi t}{T_s}} \cdot \frac{cos\frac{\pi\alpha t}{T_s}}{1 - 4\alpha ^2\frac{t^2}{T_s}}升余弦滚降系统的 h(t) 满足抽样值上无串扰的传输条件，且各抽样值之间又增加了一个零点，其尾部衰减较快(与t^2成反比)，这有利于减小码间串扰和位定时误差的影响。但这种系统的频谱宽度是\alpha=0(理想低通)的2倍，因而频带利用率为1Baud/Hz，是最高利用率的一半。
若0 < \alpha < 1,则
B = \frac{1 + \alpha}{2T_s}频带利用率
\eta = \frac{R_b}{B} = \frac{2}{1 + \alpha}加性白高斯噪声干扰下数字PAM信号通过理想限带信道的最佳基带传输
为了使得在接收端抽样时刻的码间干扰为0,X(f)要符合无码间干扰基带传输的升余弦特性
X(f) = G_T(f)C(f)G_R(f) = |X_{升余弦}(f)|e^{-2\pi f t_0}, |f| \leq W最佳基带传输条件
设限带信道是理想低通特性，并设信道不引入时延， 则接收到的确定信号的频谱仅取决于发送滤波器
G_R(f) = G_T^*(f)e^{2\pi f t_0}既要使收端抽样时刻的抽样值无码间干扰，又要使得在抽样时刻抽样值的信噪比最大
X(f) = G_T(f) G_R(f) = |G_T(f)|^2e^{-j2\pi f t_0}|G_T(f)| = |G_R(f)| = |\sqrt{X_{升余弦}(f)}|在设计发送和接收滤波器时，要使发送和接收滤波器的传递函数的模值分别是近似于升余弦的平方根频谱，其相移是线性的
眼图
眼图（Eye Diagram） 是数字通信系统中一种非常重要的可视化分析工具，用于评估信号在接收端的质量和系统性能，尤其是在有码间串扰（ISI）、噪声、失真等情况下。
✅ 一句话定义：
眼图是将多个比特周期的波形重叠在一起所形成的图像，形状类似于人的眼睛，因此得名。
👁️🗨️ 为什么叫“眼图”？
- 因为波形在重叠时，会形成一个“眼睛”形状的开口区域；
- “眼睛越张开，系统越好”；越闭合，说明信号质量越差。
📘 眼图的生成方式（原理）
- 接收端采集信号波形；
- 每隔一个比特周期（
T_b）截取一段； - 将这些波形段水平叠加绘图；
- 多个段重叠后，形成“眼形”图案。
🧠 眼图能告诉我们什么？（非常多！）
| 分析项 | 意义 |
|---|---|
| 眼的垂直开口 | 抗噪声能力，越大越好 |
| 眼的水平开口 | 抗码间串扰能力（ISI），越宽越好 |
| 零交叉点抖动 | 水平摆动大小，反映时钟同步误差 |
| 信号跃迁陡峭程度 | 反映系统带宽、滤波器性能 |
| 是否有闭合/扭曲 | 判断是否存在ISI、非线性失真等问题 |
📈 示例图示意（ASCII）
│ ┌────┐
│ / \
1 ┼──── ────┤
│ \ /
│ └────┘
│
└──────────────────▶ t这个“开口”的区域就是眼睛形状。你可以把它看作“叠加的波形之间的空白区域”。
🔬 常用于分析的场景
| 应用场景 | 用途 |
|---|---|
| 模拟信道传输 | 检查码间串扰、滤波器设计 |
| 高速串行通信 | 评估通道抖动与时钟恢复精度 |
| 光纤通信 | 分析信号在长距离后的退化情况 |
| 接收端定时判决优化 | 寻找最稳的采样点 |
✅ 眼图与判决时刻的关系
- 最佳采样时刻：位于眼图的水平中心点，此处信号最稳、噪声最小；
- 如果在其他时间采样，误码率可能会升高。
信道均衡
基带传输
- 系统传输特性不可能严格满足理想的无失真传输条件，因此接收端信号不可避免地会产生串扰
- 消除接收信号串扰的有效方法——均衡
均衡方式
- 频域均衡：接收端串接滤波器，以补偿整个系统的幅频和相频特性
- 时域均衡：利用数字信号处理算法，直接校正整个系统的单位冲激响应
时域均衡
时域均衡是在时间域对接收信号进行处理，以抵消信道造成的失真（如码间串扰 ISI），使接收到的波形尽可能接近发送端原始波形，从而提高判决精度、降低误码率。
- 我们通过构造一个数字滤波器（均衡器），对接收信号进行卷积/滤波，使其抵消信道的畸变；
- 这个均衡器是在时间域起作用的（与之对应的是频域均衡）。
部分响应系统
奈奎斯特第二准则
在确定的传输速率下，采用相关编码，使前后码元之间产生相关性（有控制地在某些码元的抽样时刻引入码间干扰）。用以改变码元波形的频谱特性，使系统频带利用率提高到理论最大值(2Baud/Hz)，同时又可以降低对定时的精度要求。
我们的主要目的是要寻求一种传输系统，它允许存在一定的、受控制的码间串扰，而在接收端可加以消除。它能使频带利用率提高到理论上的最大值，又可形成“尾巴”衰减大收敛快的传输波形，从而降低对定时取样精度的要求，这类系统称为部分响应系统
第I类部分响应波形
尽管\frac{sinx}{x}拖尾严重，但是距离一个码元间隔的两个\frac{sinx}{x}刚好正负抵消，可以组合成收敛很快的波形。
g(t) = \frac{sin\frac{\pi t}{T_s}}{\frac{\pi t}{T_s}} + \frac{sin\frac{\pi (t - T_s)}{T_s}}{\frac{\pi}{T_s}(t - T_s)} = sinc(\frac{\pi t}{T_s})\cdot{\frac{1}{1 - \frac{t}{T_s}}}或者
g(t) = \frac{sin\frac{\pi}{{T_s}} (t + \frac{T_s}{2})}{\frac{\pi}{{T_s}} (t + \frac{T_s}{2})} + \frac{sin\frac{\pi}{{T_s}} (t- \frac{T_s}{2})}{\frac{\pi}{{T_s}} (t - \frac{T_s}{2})} = \frac{4}{\pi}[\frac{cos\frac{\pi t}{T_s}}{1 - \frac{4t^2}{T_s}}]G(\omega) = \begin{aligned}
\begin{cases}
2T_scos(\frac{\omega T_s}{2}) ,& |\omega| \leq \frac{\pi}{T_s}\\
0, &|\omega| > \frac{\pi}{T_s}
\end{cases}
\end{aligned}- 频谱范围
(-\frac{\pi}{T_s}, \frac{\pi}{T_s}) - 传输带宽
B = \frac{1}{2T_s} - 频带利用率
\eta = 2 Baud/Hz
相关编码
所以引入相关性会导致误码增殖（或称为误码传播/扩散现象）
预编码
在实际传输系统中，需要解除接收码序列中码元的相关性，避免误码增殖现象。
b_k = a_k \oplus b_{k-1}部分响应的一般形式
g(t) = R_1\frac{sin\frac{\pi t}{T_s}}{\frac{\pi t}{T_s}} + R_2\frac{sin\frac{\pi (t - T_s)}{T_s}}{\frac{\pi}{T_s}(t - T_s)} + \cdots + R_N\frac{sin\frac{\pi [t - (N-1)T_s]}{T_s}}{\frac{\pi}{T_s}[t - (N - 1)T_s]}G(\omega) = \begin{aligned}
\begin{cases}
T_s\sum_{m=1}^{N}R_me^{-j\omega (m-1)T_s}, & |\omega| \leq \frac{\pi}{T_s}\\
0, &|\omega| > \frac{\pi}{T_s}
\end{cases}
\end{aligned}- 频谱范围
(-\frac{\pi}{T_s}, \frac{\pi}{T_s})
数字信号的频带传输系统
数字基带信号不可能在诸如无线信道、光纤信道等(带通型信道)传输媒质中直接传输。与模拟信号一样，必须经调制后才能在无线信道、光纤信道等媒质中传输
数字调制传输系统定义：用数字基带信号调制载波的一种传输系统，这个系统也称为数字频带传输系统。
二进制数字信号正弦型载波调制
二进制幅移键控(2ASK, OOK)
- 频带宽度
B = \frac{2}{T_B} - 频带利用率
\eta = \frac{1}{2} bit/s/Hz
P_b = \frac{1}{2}erfc(\sqrt{\frac{E_b}{2N_0}})二进制频移键控(2FSK)
相位不连续的2FSK信号
s_{\text{FSK}}(t) =
\begin{cases}
s_1(t) = A \cos 2\pi f_1 t & \text{“传号”} \\
s_2(t) = A \cos 2\pi f_2 t & \text{“空号”}
\end{cases}
\quad 0 \le t \le T_b相位连续的2FSK信号
s_{FSK}(t) = Acos[\omega_c t+ 2\pi K_f\int_{-\infty}^{t}b(\tau) d\tau] = Re[v(t)e^{j\omega_c t}]- 频带宽度
B = |f_2 - f_1| + \frac{2}{T_B} Hz - 频带利用率
\eta = \frac{\frac{1}{T_B}}{|f_2 - f_1| + \frac{2}{T_B}} bit/s/Hz
非相干解调
- 包络检波器
- 过零检测法
相干解调
假定
s_1(t)与s_2(t)正交
P_b = \frac{1}{2}erfc(\sqrt{\frac{E_b}{N_0}})二进制相移键控(2PSK)
s_{PSK}(t) = \begin{aligned}
\begin{cases}
Acos(\omega_c t + 0), & 发1\\
Acos(\omega_c t + \pi), & 发0\\
\end{cases}
\end{aligned}P_{PSK}(f) = \frac{1}{4}[P_{s'}(f - f_c) + P_{s'}(f + f_c)]- 频带宽度
B = \frac{2}{T_B} - 频带利用率
\eta = \frac{1}{2} bit/s/Hz
相干解调
本地恢复载波的相位一般是不确定的，解调后所得的数字信号的符号也容易发生颠倒，这种现象称为0、π相位模糊。
二进制差分相移键控(DPSK)
差分变换：b_k = a_k \oplus b_{k-1}
差分反变换： a_k = b_k \oplus b_{k-1}
相干解调
差分解调
二进制数字调制系统的抗噪声性能
2ASK
非相干解调
发1时
V(t) = \sqrt{[A + n_c(t)]^2 + n_s^2(t)}p(V|s=1) = \frac{V}{\sigma^2}I_0(\frac{AV}{\sigma^2})e^{-\frac{V^2 + A^2}{2\sigma^2}}发0时
V(t) = \sqrt{n_c^2(t) + n_s^2(t)}p(V|s=0) = \frac{\rho}{\sigma_n^2}e^{-\frac{\rho}{2\sigma_n^2}}在大信噪比下
P_b = \frac{1}{2}e^{-\frac{A^2}{8\sigma^2}}= \frac{1}{2}e^{-\frac{E_b}{2N_0} \cdot \frac{R_b}{B}}相干解调
p(y|s_1) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}e^{-\frac{(y-A)^2}{2\sigma^2}}p(y|s_s) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}e^{-\frac{(y+A)^2}{2\sigma^2}}P_b = \frac{1}{2}erfc(\sqrt{\frac{A_0^2}{8\sigma^2}})2FSK
非相干解调
P_b = \frac{1}{2}e^{-\frac{A^2}{4\sigma_n^2}}相干解调
P_b = \frac{1}{2}erfc({\frac{A}{2\sigma_n}})2PSK
相干解调
P_b = \frac{1}{2}erfc(\frac{A}{\sqrt{2}\sigma_n})2DPSK
相干解调—码变换
P_{eb} = 2p_b(1-p_b)p_b为2PSK的误码率
差分相干解调
P_b = \frac{1}{2}e^{-\frac{A^2}{2\sigma_n^2}}同步原理
同步的概念
- 同步是数字通信系统，以及某些采用相干解调的模拟通信系统中一个重要的实际问题
- 同步也是一种信息，它的获取和传输可以采用不同的方式
- 外同步法：由发送端发送专门的同步信息（即导频信号），接收端把这个导频信号提取出来作为同步信号的方法。
- 自同步法：发送端不发送专门的同步信息，接收端设法从收到的信号中提取同步信息的方法。
同步的基本类型
载波同步
当采用同步检测或相干解调时，接收端需要提供一个与接收信号中的调制载波同频同相的相干载波。这个载波获取的过程称为载波提取或载波同步。
位同步（码元同步）
在数字通信系统中，为了正确识别发送端传送的每一位码元，接收端需要对收到的信息码元进行判决。在接收端产生与接收码元的重复频率和相位一致的定时脉冲序列的过程称为位同步。
帧同步
在数字时分多路通信系统中，为了能正确分离各路时隙信号，在发送端必须提供每帧的起止标记，在接收端检测并获取这一标志的过程称为帧同步。
网同步
- 在数字时分多路通信系统中，为了能正确分离各路时隙信号，在发送端必须提供每帧的起止标记，在接收端检测并获取这一标志的过程称为帧同步。
- 解决网中各站之间的载波同步、位同步和帧同步等问题。
载波同步
直接提取法（自同步法）
在接收端对已调信号进行某种非线性变换后，得到载波对应的谐波分量，再经过分频可以得到载波同步信号。
平方变换法和平方环法
例如
s_{DSB}(t) = m(t)cos\omega_c t s_m^2(t) = m^2(t)cos^2(\omega_c t) = \frac{1}{2}m^2(t) + \frac{1}{2}m^2(t)cos(2\omega_c t)用窄带滤波器将此二倍频分量滤出，再经二分频就可得到载波分量
存在相位模糊现象。
同相正交环法（科斯塔斯Costas环）
V_1 = cos(\omega_c t + \theta)V_t = sin(\omega_c t + \theta)V_5 = \frac{1}{2}m(t)cos\theta(t) \approx \frac{1}{2}m(t)Costas环与平方环的比较
- Costas环工作在载波频率，平方环工作在二倍频，所以当载波频率较高时，Costas环易于实现
- 当环路锁定时，Costas环可直接获得解调输出，而平方环则无此功能
- Costas环与平方环具有相同的鉴相特性
插入导频法（外同步法）
主要用于接收信号频谱中没有离散载频分量，且在载频附近频谱幅度分布很小的情况，如DSB-SC、
等概率的2PSK、VSB、SSB信号等，尤其是单边带SSB信号（它既没有载波分量又不能直接提取载波，所以只能用插入导频法）
导频插入的原则——在已调信号频谱中的零点插入导频，且要求其附近的信号频谱分量尽量小，以便于插入以及解调时易于滤出它。
- 导频的频率应当是与载频有关的或者就是载频的频率
- 插入导频的位置与已调信号的频谱结构有关
正交插入，避免解调输出的附加直流分量对信号产生影响
载波同步的性能参数
- 载波同步的精确度
- 同步建立时间
- 同步保持时间
同步建立时间和保持时间是相互矛盾的
- 载波同步误差对误码率的影响
位同步
插入导频法（外同步法）
时域插入
- 可以连续插入，并随信号码元同时传输
- 也可以在每组信号码元之前增加一个“位同步头”，由它在接收端建立位同步，并用锁相环使同步状态在相邻两个“位同步头”之间得以保持
频域插入
- 可以在信号码元频谱之外占有一段频谱，专门用于传输同步信息
- 也可以利用信号码元频谱中的“空隙”处，插入同步信息
载波同步和位同步中插入导频法的不同之处:
- 载波同步中采用正交插入
- 位同步中采用反向相消法
直接法（自同步法）
滤波法一
- 输入基带码元通过一种非线性变换和滤波，从而得到码元速率的频率分量
滤波法二
- 还可以采用延迟相乘的方法使接收码型得到变换
- 或者采用微分电路去检测矩形码元脉冲的边沿
锁相环法
位同步的性能参数
- 相位误差
\theta_e - 同步建立时间
t_s和保持时间t_c - 同步带宽
\Delta f_s
帧同步
起止式同步法
- 之前加入一个码元宽度的低电平 ——称为“起脉冲”
- 之后加入1.5个码元宽度的高电平——称为“止脉冲”
插入特殊同步码组法
集中式插入（连贯式插入）
要求帧同步特殊码组具有优良的自相关特性，常用巴克码
间隔式插入（分散式插入）
性能参数
- 漏同步概率
- 假同步概率
- 同步平均建立时间
- 帧同步的保护
网同步
网同步是指通信网的时钟同步，解决网中各站的载波同步、位同步和帧同步等问题。
差错控制和信道编码
在实际信道上传输数字信号时，由于信道传输特性不理想以及加性噪声的影响，接收端所收到的数字信号不可避免地会发生错误。
信道差错的几种模式
- 随机差错 - 随机信道
- 突发差错 - 突发信道
- 混合差错 - 混合信道
如果通过一定的方法误比特率仍不能满足要求，则必须采用信道编码（即差错控制编码），将误比特率进一步降低，以满足系统指标要求。
我们研究的是编码和译码，所以完全可以将调制、解调与信道合起来等效成一个等效信道——编码信道。
- 离散无记忆对称二进制输入二进制输出信道
- 离散无记忆二进制输入多进制输出信道
- 离散无记忆多进制输入多进制输出
- 离散无记忆二进制输入连续输出
- 离散有记忆信道
引言
信道编码的目的
改善数字通信系统的传输质量
信道编码(差错控制编码)的基本思路
信道编码的任务
构造出以最小多余度（冗余度）代价换取最大抗干扰性能的“好码”。
信道编码与信源编码的区别
信源编码: 尽量减少信源的冗余度。即尽可能用最少的信息比特来表示信源
信道编码: 在待传输信息中加入冗余信息，以此达到差错控制的目的，从而提高通信系统的可靠性
差错控制方式及信道编码的基本概念
差错控制的三种方式
- 检错重发(ARQ)
- 前向纠错(FEC)
- 混合方式(HEC)
检错重发ARQ系统具有各种不同的重发机制
- 停等 ARQ
- Go-back-N ARQ(回退N)
- 选择性重传 SARQ
信息反馈方式（IRQ）(不常用)
信道编码的分类
按功能划分
- 检错码
- 纠错码
- 纠删码（兼检错、纠错）
按信息位和校验位的约束关系分为
- 线性码
- 非线性码
按信息码元和监督码元的约束关系分为
- 分组码：监督码仅与本码组信息码有关
- 卷积码：监督码不仅与本码组信息码有关，而且与前面码组的信息码有关
按编码后信息码结构是否发生变化分为
- 系统码：编码前后信息码结构不变
- 非系统码：编码前后信息码结构发生改变
按码元的进制进行划分
- 二进制码
- 多进制码
信道编码的基本概念
分组码: 将k比特信息编成n比特一组的码字（码组），记为(n,k)分组码
- 许用码组
- 禁用码组
- 码重
W：码组中1的个数 - 码距
d(Hamming距离)：两码组中对应位不同的比特（bit）数。 - 最小码距：分组码
(n,k)中任何两个码字C_i、C_j之间的码距的最小值，用d_{min}表示
最小码距是衡量码的一种内在属性
最小码距决定了码的纠错、检错性能
若要发现
e个独立随机错误，要求d_{min} \geq e+1若要纠正
t个独立随机错误，要求d_{min}\geq2t+1若要发现
e个同时又纠正t(e>t)个独立随机错误，
要求d_{min} \geq e+t+1
常用简单检错码
奇偶监督码（奇偶校验码）
{a_{n-1}, \cdots, a_1, a_0}\\
\text{传送信息分组+监督位}见这种码的最小码距为2，只能检
出1个独立随机差错
二维奇偶监督码（行列监督码）
可检测出任一行或任一列上所有奇数个错码
| 信息码元 | 水平监督码 | |
|---|---|---|
| 0101101100 | 1 | |
| 0101010010 | 0 | |
| 0011000011 | 0 | |
| 垂直监督码 | 0011111101 | 1 |
恒比码
每个码组中的1的个数都是一样的。
线性分组码
基本概念
- 码组中监督码与信息码之间满足线性方程
- 任意两个可用码组之和(逐位模2加)仍为一个可用码组
奇偶监督码——最简单的线性分组码
偶校验时
a_0 \oplus a_1\oplus \cdots a_{n-1} = 0奇校验时不满足线性分组码的第一个性质
线性分组码（n，k）的性质
- 封闭性：任意两个码组的和还是许用的码组
- 码的最小距离等于非零码的最小码重
- 检错能力:有
r个校正子方程→可以指示2^r - 1个错误图样 - 纠错能力:对1位错码，可以指示
2^r - 1个错误位置- 若
2^r - 1 \geq n可以纠正1bit或以上的错吗。
- 若
生成矩阵
G = (I|Q)其中I为k阶单位阵，Q为校验阵
(n, k)线性分组码的生成矩阵式k行n列。- G的每一行就是一个码字。
- 生成码字,是生成矩阵各行的线性组合。
监督矩阵
H = (P:I)其中I为(n-k)阶单位阵
H \cdot C^T = 0^T线性分组码可以由G和H完全确定。一般来说讨论编码时用G，讨论译码时用H。
H \cdot G^T = 0^T故
P = Q^T- H矩阵可以建立线性分组码的线性方程组。H矩阵有n-k行，其中每行代表一个线性方程的系数，它表示求一个监督位的线性方程。
- H矩阵的每行与它的分组码中的每一个码字的内积为0
- H矩阵的每行线性无关
- 一个(n,k,d)线性分组码，若要纠正小于等于t个错误，则要求H矩阵中任意2t行线性无关，任意(d-1)列线性无关
编码效率
R = \frac{k}{n}校正子（码组伴随式）
发送码组C经过传输系统到达接收端时，假设收到的码组为B = [b_{n-1}b_{n-2}...b_0]
差错关系B - C = E
E = [e_{n-1}e_{n-2}...e_0]E又称为错误图样，其中e_i = 0 (b_i = c_i), e_i = 1 (b_i \neq c_i)。E一定是eH^T = S的解
校正子
S = B \cdot H^T = (C + E) \cdot H^T = E \cdot H^T如果S = 0说明没有错误。当错误图样是一合法(许用)的码字时，不能检测出错误。
译码步骤
- 接收码字B，计算伴随式
S = HB^T - 查找
s=eH^T的可纠正错误图样 - 纠错
C = B + e
在可纠错的范围内，即可恢复正确的码字
编码
监督码的生成关系
汉明码
能纠正单个随机错误的线性分组码
主要参数
- 码长
n = 2^m - 1 - 信息位
k = 2^m - 1 - m - 监督位
n - k = m, m\geq 3 - 最小距离
d_{min} = d_0 = 3
汉明码是一类高效率的纠错码
- 编码效率
R = \frac{k}{n} = 1 - \frac{m}{n}
循环码
- 线性分组码的一个子类，比较成熟
- 任何一个可用码组经过循环移位后所得到的码组仍为一个可用码组
循环码组可以表示为
C(x) = c_{n-1}x^{n-1} + c_{n-2}x^{n-2} + \cdots + c_{1}x + c_0x的次幂表示码元位置
记C(x)左移i位为
C^{(i)}(x) = c_{n-i-1}x^{n-1} + c_{n-i-2}x^{n-2} + \cdots + c_{n-i+1}x + c_n-i循环码多项式的运算特性
x^i C(x) = Q(x) \cdot (x^n + 1) + C^{(i)}(x)也就是说
C^{(i)}(x) \equiv x^i C(x) \mod (x^n + 1)生成多项式
对于(n, k)循环码来说，生成多项式g(x)是一个可以除尽x^n +1的(n-k)阶多项式，即x^n + 1的因式。
阶数低于n并能被g(x)除尽的一组多项式就构成一个(n,k)循环码
阶数小于等于(n-1)并能被g(x)除尽的每个多项式都是循环码的可用码组多项式。
循环码由它的长度n和生成多项式g(x)完全确定。
常用因式分解
x^7 + 1 = (x + 1)(x^3 + x^2 + 1)(x^3 + x + 1)
通过信息码多项式和生成多项式可以得到循环码
C(x) = u(x) \cdot G(x)但是这样所得到的码并非系统码
系统码结构的循环码
设信息位对应的多项式为
u(x) = c_{k-1}x^{k-1} + c_{k-2}x^{k-2} + \cdots + c_{1}x + c_0计算
\frac{X^{n-k}u(x)}{g(x)} = Q(x) + \frac{r(x)}{g(x)}则系统码结构的循环码对应的码多项式
C_s(x) = Q(x)g(x) = X^{n-k}u(x) + r(x)其中r(x)为监督码多项式
循环码的生成矩阵
G(x) = \left(\begin{matrix}
x^{k-1}g(x)\\
x^{k-2}g(x)\\
\vdots\\
xg(x)\\
g(x)
\end{matrix}\right)对于系统码的循环码，其生成矩阵的形式一定为
G(x) = (I:R)其中第i行对应的多项式为g_i(x) = x^{n-i} + r_i(x)
G(x) = \left(\begin{matrix}
x^{n-1} + [x^{n-1}]_{\mod g(x)}\\
x^{n-2} + [x^{n-2}]_{\mod g(x)}\\
\vdots\\
x^{n-i} + [x^{n-i}]_{\mod g(x)}\\
\vdots\\
g(x)
\end{matrix}\right)其中最后一行g(x)是x^{n-k} + [x^{n-k}]_{\mod g(x)} = g(x)
循环码的监督矩阵
x^n + 1 = g(x) \cdot h(x)可以利用监督矩阵和监督码元求得循环码
C = uH编码器
可以采用反馈线性移位寄存器实现编码和伴随式计算
译码器
判断接收到的码组多项式B(x)是否能被生成多项式g(x)整除作为依据
- 当传输中未发生错误时，
B(x)=V(x)，则接收的码组B(x)必能被g(x)整除 - 若传输中发生了错误:
B(x) \neq V(x), 当B(x)不能被g(x)整除时，错误可检；否则错误不可检。
译码步骤
- 由接收码多项式
B(x)计算校正子多项式s(x)，即求解r(x) - 由
s(x)确定错误图样e(x) - 输出y = b + e
循环冗余校验(CRC)
CRC码在数据通信及移动通信中得到广泛应用
卷积码
卷积码是非分组码的典型代表，亦称连环码。卷积码与分组码的主要区别是卷积码存在记忆。
卷积码记为(n,k,m)
- n为输出码元数
- k为输入码元数
- m为编码器的存储器数
卷积码记为(n,k,K)
- n为输出码元数
- k为输入码元数
- K为卷积码的约束长度
K = m + 1
卷积码编码
描述时序网络的方法
- 解析表示法:离散卷积法、生成矩阵法、码多项式法
- 图形表示法:状态图法、树图法、格图法
以该(2, 1, 4)卷积码为例
g_1(x) = 1 + x^2 + x^3
g_2(x) = 1 + x + x^2 + x^3
生成矩阵
当输入序列为一无限序列时，生成矩阵G是一个半无限的矩阵（G的行数等于输入序列的数目）。
G = \left(\begin{matrix}
g_0^1g_0^2 & g_1^1g_1^2 & g_2^1g_2^2 & g_3^1g_3^2\\
&
g_0^1g_0^2 & g_1^1g_1^2 & g_2^1g_2^2 & g_3^1g_3^2\\
&&
g_0^1g_0^2 & g_1^1g_1^2 & g_2^1g_2^2 & g_3^1g_3^2\\
&&& \cdots & \cdots & \cdots\\
&&&& \cdots & \cdots
\end{matrix}\right)编码方程
c = uG状态图法描述
以(2, 1, 3)卷积码为例
- 总的状态数为
2^{km} - 每次可能的输入有
2^k个 - 每次可能的输出状态有
2^k个
树图法
格图法（篱笆图）
卷积码的译码
卷积码有三种主要的译码方法：
- 门限译码
- 序列译码
- 最大似然译码(维特比译码)
门限译码为代数译码；序列译码和最大似然译码是概率译码。
最大似然译码
概率译码的基本思想是：把已经接收到的序列与所有可能的发送序列相比较，选择其中汉明距离最小的一个序列作为发送序列
平均错判概率最小的最佳译码应符合最大后验概率准则
\hat c = arg max{P(c|y)}y为接收码字，c为发送码字，\hat c为接收端恢复的码字
对于二进制对称信道
- 差错概率
P(1|0) = P(0|1) = P - 正确概率
P(1|1) = P(0|0) = 1-P
假设传输过程发送d个错误，则似然函数
P(y|c) = \Pi_{l=0}^{L-1}P(y_l|c_l) = (\frac{P}{1-P})^{d(y, c)}(1-P)^L\log P(y|c) = (y, c)\log\frac{P}{1-P} + L\log(1-P)假设码字是先验等概率的，也就是说
P(c_1) = P(c_2) = \cdots = \frac{1}{2^k}因此P < \frac{1}{2}, \log\frac{P}{1-P} < 0
\hat c = argmax logP(y|c) = argmin ~d(y, c)其中
d(y, c) = \sum_{l=0}^{L-1}d(y_i, c_i)也就是计算最大对数似然函数就等价于计算最小Hamming距离。
维特比译码
正交编码与伪随机码
正交码
码组正交的概念
两个长度为N的二进制码组x = (x_1x_2...x_N), y = (y_1y_2...y_N), x_i, y_i \in (+1, -1)
x, y正交等价于
\rho_{xy} = 0对于二进制码元
\rho(x, y) = \frac{A - D}{A + D}A为x和y中对应相同的位数；D为不同位数
定义一个码组的自相关系数
\rho_x(j) = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_ix_{i+j} = \frac{A-D}{A+D}- 正交编码：
\rho = 0 - 准正交编码：
\rho\approx 0 - 超正交编码：
\rho < 0
码分复用并不是必须采用正交码。在数字通信中，超正交码和准正交码都可以采用，因为这时的邻路干扰很小，可以用设置门限的方法消除之。
双正交码：由正交编码和其反码构成
瑞得麦彻Rademacher码
瑞得麦彻函数rad(m, t)在\left[0, 1\right)上有2^{m-1}个周期的方波，取值+1, -1
\begin{aligned}
rad(1, t) &= 1 ~~~~~t \in [0, 1)\\
rad(2, t) &= \begin{aligned}\begin{cases}
+1, & t \in [0, \frac{1}{2})\\
-1, & t \in [\frac{1}{2, 1})
\end{cases}\end{aligned}\\
rad(m, t) &= rad(1, 2^{m-1}t)~~~~ t\in[0, 1)
\end{aligned}沃尔什（Walsh）码
- 沃尔什函数集是完备的非正弦型正交函数集
- 离散沃尔什函数称为沃尔什码或序列，由哈达玛(Hadamard)矩阵的行或列构成
H_2 = \left[\begin{matrix}
1 & 1\\
1 & -1
\end{matrix}\right]H_{2N} = \left[\begin{matrix}
H_N & H_N\\
H_N & -H_N
\end{matrix}\right], N = 2^m, m = 1, 2, ...伪随机码
二进制独立随机序列（Bernoulli序列）
- 由两个元素0，1或+1，-1组成，序列中不同位置的元素取值相互独立，且等概率出现
- 随机序列的基本特性
- 在序列中“0”和“1”出现的相对频率各为
\frac{1}{2} - 游程特性：（序列中连0或连1称为游程，连0或连1的个数称为游程的长度）序列中长度为1的游程占游程总数的\frac{1}{2}；长度为2的占
\frac{1}{4}；长度为n的占2^{-n} - 如果将给定的随机序列位移任何个元素，则所得序列和原序列对应的元素有一半相同，一半不同
- 在序列中“0”和“1”出现的相对频率各为
伪随机序列
具有类似于随机序列基本特性的确定序列
最长线性反馈移存器序列(m序列)
m序列是由具有线性反馈的移位寄存器产生的周期最长的序列
m序列的产生
三级移位寄存器
f(x) = 1 + x + x^3产生m序列的充分必要条件是其特征多项式必须是本原多项式
f(x) = c_0 + c_1x + c_2x^2 + \cdots + c_nx^nf(x)满足
f(x)不可分解f(x)可整除(x^m + 1), m = 2^n - 1f(x)除不尽(x^q + 1), q < m
常用的本原多项式
n = 2 ~~~ f(x) = x^2 + x +1- `$ n = 3 ~~~ f(x) = x^3 + x +1
- $
n = 4 ~~~ f(x) = x^4 + x +1$ - $
n = 5 ~~~ f(x) = x^5 + x^2 +1$
m序列的性质
- 均衡性：一个周期中“1”的个数比“0”的个数多1
- 游程特性：一个周期中长度为 $
k$ 的游程数占游程总数的 $\frac{1}{2k}$ ，其中 $1 \leq k \leq n - 1$ - 移位相加特性：一个m序列Mp与其移位序列Mr模二加得到的序列Ms仍是原Mp的移位序列（移位数与Mr不同）
- 相关特性:m序列的周期性自相关函数为二值函数，即 $
r(j) = 1 (j = nm), \frac{-1}{m}, j \neq nm$
m序列的计数
同长度不同反馈逻辑的m序列的数目等于同幂次的本原多项式的数目
n幂次本原多项式的数目为
N_S = \frac{\Phi(2^n - 1)}{n}其中 $\Phi(x)$ 为欧拉函数，其值为小于x并且与x互质的数的个数。
伪随机序列的应用
正交频分复用多载波调制技术
OFDM正交频分复用技术的发展
基于正交频分复用（OFDM）方式的多载波调制技术是一种能够提供更高比特速率、抗频率选择性衰落的现代通信技术。
对无线移动通信系统性能指标（有效性和可靠性）的主要影响因素
- 有限带宽期望获得更高信息速率
- 信道中除加性噪声（AWGN）外衰落及码间干扰的影响严重
移动无线信道的特征
- 存在多径传输，导致接收端接收信号的衰落起伏（瑞利分布、莱斯分布）
- 衰落分为平坦衰落（窄带时）以及频率选择性衰落（宽带时）
- 信道存在时变性，不是恒参信道
以上这些都增加了信道接收端接收信号的随机特性，对正确接收发送端的信息造成很大的困难
关于利用信道均方根时延扩展 $\sigma_\tau$ 参数对移动信道在一定信道带宽时呈现平衰落还是频率选择性衰落的判定准则
在时变多径衰落信道中发送一对正弦波的频差为 $\Delta f$ ，由于接收端的两个接收信号包络为随机变量，其相关系数 $\rho$ 将与频差 $\Delta f$ 有关。根据Jake关系可知
\rho = \frac{1}{1 + (2\pi \Delta f\sigma_\tau)^2}信道相关带宽
B_c = \Delta f \lvert_{\rho=0.5} = \frac{1}{2\pi\sigma_\tau}- 当 $
\Delta f << B_c$ 时， $\rho \rightarrow 1$ 说明两接收信号的幅值高度相关，经历近似相等的衰落。 - 当 $
\Delta f >> B_c$ 时， $\rho \rightarrow 0$ 说明两接收信号的幅值不相关，经历接近完全独立的衰落过程。
由此可知，当 $B << B_c$ 时，为平衰落，故码间干扰可以忽略，该通信系统可视为窄带系统。
当 $B >> B_c$ 时，为频率选择性衰落，存在码间干扰，此时的通信系统可视为宽带系统。
实际工程应用中，若由无线通信环
境得到信道的统计参量均方根时延扩展 $\sigma_\tau$ ，选取合适
的数字调制信号的符号间隔 $T_s$ ，以确保在数字调制信号带宽范围内近似为平衰落，以保证产生较小的码间干扰。否则还需采用信号均衡的措施来进一步减少码间干扰。
正交频分复用OFDM多载波调制
基本思路：将宽带信道分解为许多平行的窄带子信道，使每个信道的带宽 $B$ 小于信道的相关带宽 $B_c$ ，从而每个子信道所经历的衰落可以近似为平衰落。
具体实现方案：将输入的高速数据码流通过串并变换成N路的并行的子数据码流，每个子数据码流的数据速率是输入数据速率的 $\frac{1}{N}$ 。这 $N$ 个平行数据码流各自调制不同中心频率的子载波，在各自的子信道上并行传输。由于各子载波上的信号互相正交，故此其带宽足够小，使得每个子载波信号近似经历平衰落。以达到高速可靠地传输数字信号的目的。
BPSK-OFDM方案
发送：
- 将输入的数据码流串并转换为N个并行的子数据码流
- 将每个子数据码流分别对各自的子载波进行BPSK调制
- 将N个BPSK调制信号同时进行传送处理，形成BPSK-OFDM多载波调制信号
主要参数
- 输入数据流速率: $
R_b$ - 发送符号周期: $
T_b = \frac{1}{R_b}$ - 子数据流速率: $
\frac{R_b}{N}$ - 子数据流符号间隔: $
T_s = NT_b$ - 子载波频率: $`f_i = f_c + i\Delta f, \Delta f = \frac{1}{T_s} = \frac{R_b}{N}$
当N足够大时，各子载波已调信号就可以近似认为经历平衰落。
OFDM系统多用矩形脉冲成形，可以保证子载波信号的正交性，无子载波间干扰。