第1章 复变函数与解析函数
复数
一对有序实数(ordered pairs)为复数
z = x + iy = \rho{e^{i\phi}}\phi 称为z的辐角，记为
\phi = argz主值辐角Argz
-\pi < Argz \leq \pi区域
点的邻域 (neighborhood of a point)
|z - z_0| \leq \varepsilon_0内点 (interior point)
若z_0及其邻域都属于E，则z_0为E的内点
界点 (boundary point)
区域 (domain)
闭区域 (closure)
单连通区域 (simple connected domain)
复联通区域 (multiply connected domain)
复变函数
导数 (derivative)
- 可导一定连续，连续不一定可导
- 实部和虚部连续，则复变函数连续。
- 实部和虚部可导，复变函数不一定可导。
函数可导的充要条件(sufficient conditions for derivability)
柯西黎曼条件
若w=f(z)=u(x,y) + iv(x,y)在区域D内一点z = x+iy可导，那么在(x,y)处存在且满足柯西黎曼条件
\frac{\partial{u}}{\partial{x}} = \frac{\partial{v}}{\partial{y}},
\frac{\partial{v}}{\partial{x}} = -\frac{\partial{u}}{\partial{y}}极坐标形式为
\frac{\partial{u}}{\partial{\rho}} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial{v}}{\partial{\phi}},
\frac{\partial{v}}{\partial{\rho}} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial{u}}{\partial{\phi}} 解析函数
定义：若函数f(z)在点z_0及其邻域上处处可导，则称函数f(z)在z_0处解析。如果f(z)在z_0处不解析，则称z_0为函数f(z)的奇点。
- 解析一定可导。在某点处可导和解析是不一样的
- 若区域
D具有开集性，则每一点及其邻域都属于区域D，在该区域内可导和解析是等价的。
解析函数的性质
正交性
若f(z) = u(x,y) + iv(x,y)在区域D解析，则曲线族u(x,y)=C, v(x,y)=D在D上正交 (orthogonal)。
即
\frac{\partial{u}}{\partial{y}}\frac{\partial{v}}{\partial{y}} + \frac{\partial{u}}{\partial{x}}\frac{\partial{v}}{\partial{x}} = 0调和函数
若f(z) = u(x,y) + iv(x,y)在区域D解析，则u, v为区域D上的调和函数。
实部和虚部通过柯西黎曼条件相联系
只需要知道解析函数的实部或者虚部，就可以求出解析函数。
保角性
初等解析函数
初等解析函数 f(z) |
解析区域 | 导函数 | 周期 | 单值/多值 |
|---|---|---|---|---|
z^n (n > 0 整数) |
全平面 | nz^{n-1} |
非周期函数 | 单值 |
z^n (n < 0 整数) |
除 z = 0 的全平面 |
nz^{n-1} |
非周期函数 | 单值 |
e^z |
全平面 | e^z |
2\pi i |
单值 |
sin z |
全平面 | \cos z |
2\pi |
单值 |
cos z |
全平面 | -\sin z |
2\pi |
单值 |
sinh z |
全平面 | \cosh z |
无 | 单值 |
cosh z |
全平面 | \sinh z |
无 | 单值 |
ln z |
单值分支 | \frac{1}{z} |
非周期函数 | 多值 |
z^s |
单值分支 | z^z(\ln z + 1) |
非周期函数 | 多值 |
第2章 解析函数积分
复变函数的积分
闭合环路积分
\int_L f(z) dz = \int_L [u(x, y) dx - v(x, y) dy] + i\int_L [v(x, y) dx + u(x ,y) dy]性质
- 复变函数的积分的模不大于被积表达式模的积分
| \int_L f(z) dz | \leq \int_L |f(z)| |dz| \leq \int_L |f(z)| dl - 积分估值定理
若|f(z)| \leq M，则|\int_L f(z) dz| \leq Ml
柯西定理
单连通区域的柯西定理
如果函数f(z)在单连通区域D内及其边界线L上解析，那么f(z)沿L或D内任意闭曲线l的积分为0
\oint_L f(z) dz = 0, \oint_l f(z) dz = 0解析函数积分与路径无关
复连通区域的柯西定理
设L为闭复连通区域D的外边界，C_1, C_2, \cdots, C_n是复连通区域的内边界，则
\oint_L f(z) dz + \sum_{k=1}^{n} \oint_{C_k}f(z)dz = 0闭路变形定理
设C_1和C_2是两条正向简单闭曲线，且C_1包围在C_2内部，如果函数f在C_1和C_2围成的复连通区域解析，则有
\oint_{C_1} f(z) dz = \oint_{C_2} f(z) dz一个重要积分
\oint_{C_R}\frac{dz}{(z-z_0)^n} = \begin{cases}2\pi i, n = 1\\0, n \neq 1 \end{cases}C_R是以z_0为圆心，半径为R的正向圆周
单连通区域的柯西积分公式
f(z_0) = \frac{1}{2\pi j}\oint_l \frac{f(z)}{ z - z_0} dz其中l为D内任意一条正向曲线，z_0为l内任意一点
复连通区域的柯西积分公式
f(z_0) = \frac{1}{2\pi j}\oint_{L + C_1 + C_2 + \cdots + C_n} \frac{f(z)}{z-z_0}dz其中L为外边界，C_1, C_2, \cdots, C_n为内边界，z_0为D内任意一点
无界区域的柯西积分公式
若f(z)在某一闭曲线L的外部解析，并且当|z| \rightarrow \infty时，有f(z) \rightarrow 0，点z_0是L外任意一点，则有
f(z_0) = \frac{1}{2\pi j}\oint_L \frac{f(z)}{z - z_0} dz一些推论
导函数
如果f(z)在单连通区域D内解析，则其导函数在该区域内仍然解析，且
f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi j}\oint_C \frac{f\xi}{(\xi - z)^{n+1}} dz ~~~~~~~n = 1, 2, 3, \cdots第3章 复变函数级数
复数项级数的性质
定理1 \sum_{k=1}^{\infty} w_k收敛的充分必要条件是: \forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathcal{N}, \text{使得} n > N \text{时}, |\sum_{k=n+1}^{n+p}w_k| < \varepsilon,
定理2 设w_k = u_k + i_k，则\sum_{k=1}^{\infty} w_k收敛的充分必要条件是实部\sum_{k=1}^{\infty} u_k和虚部\sum_{k=1}^{\infty} v_k都收敛
定理2' 设w_k = u_k + i_k, S = a + ib，则\sum_{k=1}^{\infty} w_k收敛与S的充分必要条件是实部\sum_{k=1}^{\infty} u_k收敛于a和虚部\sum_{k=1}^{\infty} v_k收敛与b
定理3 级数\sum_{k=1}^{\infty} w_k收敛的必要条件是\lim_{k \rightarrow \infty} w_k = 0
定理4 若级数\sum_{k=1}^{\infty} |w_k|收敛，则级数\sum_{k=1}^{\infty} w_k收敛
定理5 \sum_{k=1}^{\infty} w_k绝对收敛的充分必要条件是\sum_{k=1}^{\infty} u_k和\sum_{k=1}^{\infty} v_k绝对收敛
复变函数项级数
定理6 复变函数项级数\sum_{n=0}^N f_n(z)收敛的充分必要条件是，对于D内各点z，任意给定\varepsilon > 0，必有N(z)存在，使得当n > N(z)时，对于任意正整数p，有
|\sum_{k=n+1}^{n+p} f_k(z)| < \varepsilon一致收敛 (uniformly convergent)
\forall \varepsilon > 0，存在一个与z无关的N，使得对区域D或者曲线L上的一切z均有：当n > N时，
|\sum_{k=n+1}^{n+p} f_k(z)| < \varepsilon则称级数\sum_{n=0}^N f_n(z)在D或者L上一致收敛
M判别法 (majorant Test)
若有|f_n(z)| \leq M_n，且\sum_{n=1}^{\infty} M_n收敛，则\sum_{n=1}^{\infty} f_n(z)绝对且一致收敛
幂级数 (power series)
收敛半径
- 比值法
R = \lim_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}| - 根式法
R = \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{|a_n|^{\frac{1}{n}}}
性质
性质1
幂级数在收敛圆内绝对且一致收敛
性质2
收敛级数的和差和乘积构成的新级数在|z| < min(R_1, R_2)内收敛
性质3
设幂级数的收敛半径为R，则它的和函数在收敛圆内解析，且在其收敛圆内可以逐项求导或逐项积分
泰勒级数
解析函数的泰勒展开式
若f(z)在区域D: |z - z_0| < R内解析，则对D内任意点z，有
f(z) = \sum_{k=0}^{\infty}a_k (z - z_0)^k, ~~|z - z_0| < R其中a_k = \frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(\xi)}{(\xi - z_0)^{k+1}}d\xi = \frac{f^{(k)}(z_0)}{k!} ~~~ k=0, 1, 2, \cdots
泰勒级数的收敛半径
定理
若一个解析函数展开为以z_0为中心的泰勒级数，则其收敛圆是以z_0为圆心，以z_0与最近奇点b之间的距离|z_0 - b| = R的圆，R即为泰勒级数的收敛半径
洛朗级数
形如\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n (z - z_0)^n的级数称为洛朗级数
定理
若函数f(z)在圆环域R_1 \leq |z - z_0| \leq R_2内解析，则在此圆环域内f(z)必可展开成洛朗级数
f(z) = \sum_{n-\infty}^{\infty}c_n(z-z_0)^n其中，系数
c_n = \frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(\xi)}{(\xi - z_0)^{n+1}}d\xi, ~~~n=0, \pm1,\pm2,\cdots洛朗级数的收敛性
设a,b分别为f(z)的两个相邻奇点，将函数展开为以z_0为中心的洛朗级数\sum_{n-\infty}^{\infty}c_n(z-z_0)^n，则该级数必在环域|a - z_0| < |z - z_0| < |b - z_0|内收敛
单值函数的孤立奇点
如果函数f(z)在某点z_0内不可导，而在z_0的任意邻域内除z_0以外连续可导，则称z_0为f(z)的孤立奇点；如果z_0的无论多小的邻域内总可以找到z_0以外的不可导点，则称z_0为f(z)的非孤立奇点
在孤立奇点的去心邻域上，单值解析函数f(z)可以展开为洛朗级数\sum_{n-\infty}^{\infty}c_n(z-z_0)^n。其中正幂部分是该级数的解析部分(the analytic part)，负幂部分是该级数的主要部分(the principal part)
三类奇点
可去奇点
以下任意一条都可以作为判定孤立奇点的充要条件或者定义
-
f(z)在奇点z_0去心邻域内的洛朗级数无主要部分 -
\lim_{z\rightarrow z_0} f(z) = c_0, c_0 \neq \infty -
f(z)在z_0的去心邻域内有界
m阶极点
如果在环域0 < |z - z_0| < R上的洛朗级数的主要部分为有限项，即
f(z) = \sum_{n=-m}^{\infty}c_n (z-z_n)^n则称z_0为m阶极点，且\lim_{z\rightarrow z_0}f(z) = 0
- 洛朗展开
f(z) = \frac{1}{(z-z_0)^m \phi(z)},\phi(z)解析并且\phi(z_0) \neq 0\lim_{z\rightarrow z_0} (z-z_0)^mf(z) = a ~(a \neq 0)
本性奇点
如果洛朗展开的主要部分是无穷项，则称z_0为本性奇点
- 洛朗展开的主要部分为无穷想
- 极限
\lim_{z\rightarrow z_0} f(z)不存在
第4章 留数定理及其应用
留数定理
有限远点处的留数
若函数f(z)在其奇点z_0的去心邻域内展开为洛朗级数
f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-z_0)^n根据结论
\oint_C \frac{1}{(z-z_0)^n}dz = \begin{cases}2\pi i, n = 1 \\0, ~~n\neq 0\end{cases}因此
\oint_C f(z) dz = 2\pi i c_{-1}称c_{-1}就是f(z)在有限远点z_0处的留数，记作Resf(z_0)或Res[f(z), z_0]或Resf(z)|_{z=z_0}，即
Resf(z_0) = \frac{1}{2\pi i}\oint_C f(z) dz = c_{-1}可以通过计算洛朗级数或者计算环路积分得到留数
无穷远点的留数
Resf(\infty) = \frac{1}{2\pi i}\oint_Lf(z)dz其中L是沿顺时针方向绕z=0一周的闭合回路，且回路内包含f(z)的所有有限远处的奇点。
同时，将f(z)在z=\infty的邻域展开为洛朗级数
f(z) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}C_kz^k~~~~R < |z| < \infty两边沿环路L积分并上一节的结论，有
\oint_L f(z) dz = C_{-1} 2\pi i故
Resf(\infty) = -C_{-1}定理1
若lim_{z\rightarrow \infty} f(z) = 0，则无穷远点留数
Resf(\infty)=-\lim_{z\rightarrow \infty} [z \cdot f(z)]定理2
若lim_{z\rightarrow \infty} f(z) \neq 0，则
Res[f(z), \infty] = -Res(f(\frac{1}{t}) \cdot \frac{1}{t^2}, 0)留数定理
设函数f(z)在区域D内除有限个奇点z_1, z_2, \cdots, z_n处处解析，L为区域内包围所有奇点的一条正向简单闭曲线，则
\oint_L f(z) dz = 2\pi i \sum_{k=1}^{n}Resf(z_k)留数和定理
设函数f(z)在扩充复平面上除有限远处奇点z_k (k=1, 2, \cdots, n)和z=\infty外处处解析，则有
\sum_{k=1}^{n}Resf(z_k) + Resf(\infty) = 0留数的计算
- 当
z_0为可去奇点时Resf(z_0) = 0 - 当
z_0为本性奇点时，几乎没有什么好方法，只能用洛朗展开或者环路积分 - 当
z_0为单奇点时c_{-1} = \lim_{z\rightarrow z_0} (z-z_0)f(z)- 当
z_0为m阶奇点时Resf(z_0) = \frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\rightarrow z_0}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}[(z - z_0)^mf(z)]
- 当
利用留数定理计算实积分
类型\mathop{I}实积分计算
\int_0^{2\pi} R(cos\theta, sin\theta) d\theta = \oint_{|z|=1}R(\frac{z + z^{-1}}{2}, \frac{z - z^{-1}}{2i}) \frac{1}{iz} dz类型\mathop{II}实积分计算
设f(z) = \frac{P(z)}{Q(z)}为有理函数，P(z)和Q(z)为互质多项式，并且 有Q(z)的次数至少比P(z)的次数高两次，也即\lim_{z\rightarrow \infty} zf(z) = 0 和 Q(z)在实轴上没有零点，上半平面有有限个零点，则
\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{P(x)}{Q(x)} dx = 2\pi i \sum_{Imz_k > 0} Res[\frac{P(z)}{Q(z)}, z_k]类型\mathop{III}实积分计算
约当引理
设C_R为|z|=R的上半圆周，函数f(z)在C_R上连续且\lim_{z\rightarrow \infty} f(z)=0，则
\lim_{|z|=R \rightarrow \infty} \int_{C_R}f(z)e^{iaz}dz = 0, ~~~a > 0对于积分 \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)e^{iax}dx, ~(a > 0)，若取函数F(z)=f(z)e^{iaz}，并且满足 1.函数F(z)=f(z)e^{iaz}在z平面内除有限个奇点z_1, z_2, \cdots, z_n处处解析，且实轴上无奇点 2. f(x)为有理分式函数，分母的次数至少比分子的次数高一次
\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{ia}dx = 2\pi i \sum_{Imz_k > 0} Res[F(z), z_k] 第5章 傅里叶级数
周期函数的傅里叶展开
傅里叶级数
运用三角函数族的正交性，可以得到傅里叶级数
f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}a_ncos\frac{n\pi x}{l} + b_nsin\frac{n\pi x}{l} = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}a_ncos\frac{2n\pi x}{T} + b_nsin\frac{2n\pi x}{T}其中
\begin{aligned}
\begin{cases}
a_0 = \frac{1}{2l} \int_{-l}^{l} f(x) dx = \frac{1}{T} \int_{-T}^{T} f(x) dx\\ \\
a_n = \frac{1}{l} \int_{-l}^{l}f(x)cos(\frac{n \pi x}{l}) dx = \frac{2}{T} \int_{-T}^{T}f(x)cos(\frac{2n \pi x}{T}) dx \\\\
b_n = \frac{1}{l} \int_{-l}^{l}f(x)sin(\frac{n \pi x}{l}) dx = \frac{2}{T} \int_{-T}^{T}f(x)sin(\frac{2n \pi x}{T}) dx\\\\
\end{cases}
\end{aligned}傅里叶级数的收敛性
狄利克雷定理 (theory of Dirichlet)
如果函数f(x)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；每个周期内只有有限个极值点，则级数收敛，在收敛点有
a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}a_ncos\frac{n\pi x}{l} + b_nsin\frac{n\pi x}{l} = f(x)在间断点有
a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}a_ncos\frac{n\pi x}{l} + b_nsin\frac{n\pi x}{l} = \frac{1}{2}[f(x + 0) + f(x - 0)]奇函数和偶函数的傅里叶展开
有界函数的傅里叶展开
- 奇延拓
- 偶延拓
- 周期延拓
复数形式的傅里叶级数
取复指数正交函数族
\cdots, e^{-i\frac{k\pi x}{l}}, \cdots, e^{-i\frac{2\pi x}{l}}, e^{-i\frac{\pi x}{l}}, 1, e^{i\frac{1\pi x}{l}}, e^{i\frac{2\pi x}{l}}, \cdots, e^{i\frac{k\pi x}{l}}, \cdots不难得出以该函数族为基的广义傅里叶级数
f(x) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}C_ke^{i\frac{k\pi x}{l}}其中
C_k = \frac{1}{2l}\int_{-l}^{l}f(x)(e^{i\frac{k\pi x}{l}})^{*} dx = \frac{1}{2l}\int_{-l}^{l}f(x)e^{-i\frac{k\pi x}{l}} dx可以看出C_{-k} = C^*_k, |C_k| = \frac{\sqrt{a_k^2 + b_k^2}}{2}
第6章 数学物理定解问题
典型的数理方程
波动方程
u_{tt} - a^2\nabla^2u = f(x, y, z, t)
\nabla^2A = \nabla \times \nabla \times A + \nabla(\nabla \cdot A)
热传导方程
u_t -D\nabla^2u = f(x, y, z, t)泊松方程
\nabla^2u = f(x, y, z, t)定解条件
初始条件
边界条件
第一类边界条件 (Dirichlet condition)
u(x, y, z, t) |_{x_0, y_0, z_0} = f(x_0, y_0, z_0, t)第二类边界条件 (Neumann condition)
\frac{\partial \vec u}{\partial \vec n}|_{x_0, y_0, z_0} = f(x_0, y_0, z_0, t)第三类边界条件 (混合边界条件)
(u + H\frac{\partial \vec u}{\partial \vec n})|_{x_0, y_0, z_0} = f(x_0, y_0, z_0, t)自然边界条件
二阶线性偏微分方程
A(x, y)\frac{\partial^2u}{\partial x^2} + B(x,y)\frac{\partial^2u}{\partial x \partial y} + C(x, y)\frac{\partial^2u}{\partial y^2} + D(x, y)\frac{\partial u}{\partial x} + E(x,y)\frac{\partial u}{\partial y} + F(x, y)u = G(x,y)取判别式\Delta = B(x, y)^2 - 4A(x,y)C(x,y)
若\Delta > 0 方程为双曲型 (hyperbolic type) 典型的为波动方程u_{tt} - a^2u_{xx} = 0
若\Delta < 0 方程为椭圆型 (elliptic type) 典型的为拉普拉斯方程\nabla^2u=0
若\Delta = 0 方程为抛物型 (parabolic type) 典型的为运输方程u_t - a^2u_{xx} = 0
线性偏微分方程可以使用叠加原理
行波法与达朗贝尔公式
达朗贝尔公式
对于定解问题
\begin{aligned}
\begin{cases}
u_{tt} - a^2u_{xx} = 0 \\
u(x, 0) = \varphi (x) \\
u_t(x, 0) = \psi (x) \\
\end{cases}
\end{aligned}方程可以写为
(\frac{\partial}{\partial t} + a\frac{\partial}{\partial x})(\frac{\partial}{\partial t} - a\frac{\partial}{\partial x})u = 0进行变换
\xi = x + at ~~~~~~
\eta = x - at不难解得
u(x, t) = \frac{1}{2}[\varphi(x + at) + \varphi(x - at)] + \frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at} \psi (\xi) d\xi这就是一维波动方程在给定初始条件下的解，称为达朗贝尔公式。
达朗贝尔公式只适用于空间上没有边界的齐次波动方程问题。
第7章 分离变量法
分离变量的条件
- 常系数二阶齐次偏微分方程总可以分离变量
- 变系数二阶齐次偏微分方程需要满足一定条件
- 边界条件需要是齐次的
分离变量法的一般步骤
变量分离
求解本征值问题
求特解，并叠加求出通解
通过非齐次初始条件或边界条件确定待定系数
非齐次边界条件齐次化的一般方法
对于定解问题
\begin{aligned}
\begin{cases}
\frac{\partial^2u}{\partial t^2} - a^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = f(x, t) , ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~0 < x < l, t > 0\\\\
u(0, t) = g_1(t), ~u(l, t) = g_2(t), ~~~~~~~~~ t > 0 \\\\
u(x, 0) = \phi(x), ~u_t(x, 0) = \psi(x), ~~~~~ 0 < x < l\\
\end{cases}
\end{aligned}运用叠加原理，令
u(x, t) = v(x, t) + w(x, t)可以取
w(x, t) = \frac{x}{l}[g_2(t) - g_1(t)] + g_1(t)则v(x, t)的定解问题
\begin{aligned}
\begin{cases}
\frac{\partial^2v}{\partial t^2} - a^2\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} = f(x, t) - \frac{x}{l}[g''_2(t) - g''_1(t)] - g''_1(t) \\\\
v(0, t) 0, ~v(l, t) = 0 \\\\
v(x, 0) = \phi(x) - \frac{x}{l}[g_2(0) - g_1(0)] - g_1(0) \\\\
v_t(x, 0) = \psi(x) - \frac{x}{l}[g'_2(0) - g'_1(0)] - g'_1(0)
\end{cases}
\end{aligned}常用本征值问题的本征值和本征函数
| 边界条件 | 本征值 \lambda |
本征函数 X(x) |
|---|---|---|
X\lvert_{x=0} = 0, X\lvert_{x=l} = 0 |
\lambda = \left( \frac{n \pi}{l} \right)^2, n=1,2,3,\ldots |
\sin \left( \frac{n \pi}{l} x \right) |
X'\lvert_{x=0} = 0, X'\lvert_{x=l} = 0 |
\lambda = \left( \frac{n \pi}{l} \right)^2, n=0,1,2,\ldots |
\cos \left( \frac{n \pi}{l} x \right) |
X\lvert_{x=0} = 0, X'\lvert_{x=l} = 0 |
\lambda = \left( \frac{(n+\frac{1}{2}) \pi}{l} \right)^2, n=0,1,2,\ldots |
\sin \left( \frac{(n+\frac{1}{2}) \pi}{l} x \right) |
X'\lvert_{x=0} = 0, X\lvert_{x=l} = 0 |
\lambda = \left( \frac{(n+\frac{1}{2}) \pi}{l} \right)^2, n=0,1,2,\ldots |
\cos \left( \frac{(n+\frac{1}{2}) \pi}{l} x \right) |
第8章 二阶常微分方程的级数解法和本征值问题
常用正交坐标系下的分离变量
拉普拉斯方程的分离变量
球坐标系
\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2\frac{\partial u}{\partial r}) + \frac{1}{r^2sin^2\theta}(sin\theta \frac{\partial u}{\partial \theta}) + \frac{1}
{r^2sin^2\theta}\frac{\partial^2 u}{\partial \varphi^2} = 0方程的解为
\Phi_m = A_msinm\varphi + B_mcosm\varphiR(r) = Cr^l + \frac{D}{r^{l+1}}(1-x^2)\frac{d^2\Theta}{dx^2} - 2x\frac{d\Theta}{dx} + [l(l+1) - \frac{m^2}{1-x^2}]\Theta = 0其中最后一个方程为l阶连带勒让德方程，对于所有物理问题，\Theta(\theta)满足以下本征值问题
\begin{aligned}
\begin{cases}
(1-x^2)\frac{d^2\Theta}{dx^2} - 2x\frac{d\Theta}{dx} + [l(l+1) - \frac{m^2}{1-x^2}]\Theta = 0 \\\\
\Theta(0) = 有限值, ~~\Theta(\pi) = 有限值
\end{cases}
\end{aligned}柱坐标系
\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho \frac{\partial u}{\partial \rho}) + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \varphi^2} + \frac{\partial^2u}{\partial z^2} = 0\Phi的解为
\Phi(\varphi) = A_msinm\varphi + B_mcosm\varphi当\mu = 0时，解为
\begin{aligned}
\begin{cases}
R(\rho) = \begin{cases}A_0 + B_0ln\rho ,~~m=0\\\\A_m\rho^m + B_m\rho^{-m}, ~~ m\neq 0\end{cases}\\\\
Z(z) = C + Dz
\end{cases}
\end{aligned}当\mu > 0时，解为
Z(z) = Ce^{\sqrt{u}z} + De^{-\sqrt{u}z}R的方程为
x^2\frac{d^2R}{dx^2} + x\frac{dR}{dx} + (x^2 - m^2)R = 0 这是标准的贝塞尔方程
当\mu < 0时，解为
Z(z) = Csin{\sqrt{-\mu}z} + Dcos{\sqrt{-\mu}z} R的方程为
x^2\frac{d^2R}{dx^2} + x\frac{dR}{dx} + (-x^2 - m^2)R = 0 这是标准的虚宗量贝塞尔方程
波动方程的分离变量
u_{tt}(\vec{r}, t) - a^2\nabla^2u(\vec{r}, t) = 0结果为
\begin{aligned}
\begin{cases}
T''(t) + k^2a^2T(t) = 0 \\\\
\nabla^2V(\vec{r}) + k^2V(\vec{r}) = 0
\end{cases}
\end{aligned}热传导方程的分离变量
u_{t}(\vec{r}, t) - a^2\nabla^2u(\vec{r}, t) = 0结果为
\begin{aligned}
\begin{cases}
T'(t) + k^2a^2T(t) = 0 \\\\
\nabla^2V(\vec{r}) + k^2V(\vec{r}) = 0
\end{cases}
\end{aligned}亥姆霍兹方程的分离变量
球坐标系
\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial \Psi}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin\theta \frac{\partial \Psi}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2\theta} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial \phi^2} + k^2 \Psi = 0解为
\Phi_m = A_msinm\varphi + B_mcosm\varphi R的方程
r^2\frac{d^2R}{dr^2} + 2r\frac{dR}{dr} + [k^2r^2 - l(l+1)]R = 0 令x = kr, R(r) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}}y(x)
x^2\frac{d^2y}{dx^2} + x\frac{dy}{dx} + (x^2 - (l + \frac{1}{2})^2)y = 0柱坐标系
\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r \frac{\partial \Psi}{\partial r} \right)+ \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial \phi^2}+ \frac{\partial^2 \Psi}{\partial z^2}+ k^2 \Psi = 0常点邻域的级数解法
方程的常点和奇点
对于方程
\frac{d^2w(z)}{dz^2} + p(z)\frac{dw(z)}{dz} + q(z)w(z) = 0如果方程p(z), q(z)在z_0是解析的，则称z_0是方程的常点。如果z_0是方程p(z), q(z)的奇点，则z_0是方程的奇点。如果z_0是p(z)不高于一阶的奇点，q(z)不高于二阶的奇点，则称z_0是方程的正则奇点。
常点邻域的幂级数解
w(z) = \sum_{k=0}^{\infty}a_k(z-z_0)^k施图姆-刘维尔本征值问题
施-刘方程
\begin{aligned}
\frac{d}{dx}[k(x)\frac{dy}{dx}] - q(x)y + \lambda P(x)y = 0 \\\\
k(x) \geq 0, ~~q(x) \geq 0, ~~P(x) \geq 0, ~~ a\leq x \leq b
\end{aligned}第9章 特殊函数
勒让德多项式 (Legendre polynomials)
勒让德方程的级数解
球坐标系下的勒让德方程
\frac{1}{sin\theta}\frac{d}{d\theta}(sin\theta \frac{d\Theta}{d\theta}) + [l(l + 1) - \frac{m^2}{sin^2\theta}]\Theta = 0该方程写为
(1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2} - 2x\frac{dy}{dx}+ [l(l+1) - \frac{m^2}{1-x^2}]y = 0勒让德方程的解是勒让德级数
P_l(x) = \sum_{k=0}^{[\frac{l}{2}]}(-1)^k\frac{(2l - 2k)!}{2^lk!(l-k)!(l-2k)!}x^{l-2k}前几项
P_0(x) = 1P_1(x) = xP_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2 - 1)P_3(x) = \frac{1}{2}(5x^3 - 3x)P_4(x) = \frac{1}{8}(35x^4 - 30x^2 + 3)勒让德多项式的性质
奇偶性
P_l(-x) = (-1)^lP_l(x)特殊点
P_{2n+1}(0)=0P_{2n} = (-1)^n\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}P_l(1) = 1, P_l(-1) = (-1)^l正交归一性
S-L问题的本征函数带权正交
勒让德多项式微分和积分表示
P_l(x) = \frac{1}{2^ll!}\frac{d^l}{dx^l}(x^2 - 1)^lP_l(x) = \frac{1}{2\pi i}\frac{1}{2^l}\oint_C\frac{(\xi^2-1)^l}{(\xi-x)^{l+1}}dxP_l^m(x) = \frac{(1-x^2)^{\frac{m}{2}}}{2^ll!}\frac{d^{l+m}}{dx^{l+m}}(x^2-1)^l定解问题
球坐标系下拉普拉斯方程的解
\begin{aligned}
\begin{cases}
R_l(r) = C_lr^l + \frac{D_l}{r^{l+1}} \\\\
\Phi_m(\varphi) = Asinm\varphi + Bcosm\varphi \\\\
\Theta_{m, l}(\theta) = P_l^m(cos\theta)
\end{cases}
\end{aligned}勒让德多项式的递推公式
由勒让德多项式的生成函数可以导出
(n+1)P_{n+1}(x) - (2n+1)xP_n(x) + nP_{n-1}(x) = 0 P_n(x) = P'_{n+1}(x) - 2xP'_n(x) + P'_{n-1}(x), ~~ n\geq1由这两个公式可以导出
(2n+1)P_n(x) = P'_{n+1}(x) - P'_{n-1}(x), ~~n \geq 1P'_{n+1}(x) = (n+1)P_n(x) + xP'_n(x), ~~~n \geq 0nP_n(x) = xP'_n(x) - P'_{n-1}(x), ~~~n\geq1(x^2-1)P'_n(x) = nxP(x) - nP_{n-1}(x), ~~n\geq1贝塞尔函数 (Bessel function)
三类柱函数
贝塞尔方程
x^2\frac{d^2y}{dx^2} + x\frac{dy}{dx} + (x^2 - \nu^2)y = 0贝塞尔方程的通解为
y(x) = c_1y_1(x) + c_2y_2(x)其中
y_1(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nc_0\Gamma(\nu + 1)}{2^{2n}n!\Gamma(\nu + n + 1)}y_2(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nc_0\Gamma(-\nu + 1)}{2^{2n}n!\Gamma(-\nu + n + 1)}在y_1(x)中选择常数c_0 = \frac{1}{2^{\nu}\Gamma(\nu + 1)}，记y_1(x)为J_\nu(x)，称其为\nu阶贝塞尔函数
J_\nu(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)}{n!\Gamma(\nu + n + 1)}(\frac{x}{2})^{2n+\nu}在y_2(x)中选择常数c_0 = \frac{1}{2^{-\nu}\Gamma(\nu + 1)}，记y_2(x)为J_{-\nu}(x)，称其为\nu阶贝塞尔函数
J_{-\nu}(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)}{n!\Gamma(-\nu + n + 1)}(\frac{x}{2})^{2n-\nu}J_\nu(x)和J_{-\nu}(x)称为第一类柱函数，当\nu不为整数时，他们线性无关，此时通解
y(x) = A_\nu J_\nu(x) + B_\nu J_{-\nu}(x)当\nu为整数时，第二个通解形式
y(x) = A_\nu J_\nu(x) + B_\nu N_{\nu}(x)其中
N_{\nu}(x) = \frac{cos\nu\pi J_{\nu}(x) - J_{-\nu}(x)}{sin\nu \pi}称为第二类柱函数， 又称为诺伊曼函数(Neumann function)
第三个通解形式
y(x) = A_\nu H_\nu^{(1)}(x) + B_\nu H_{\nu}^{(2)}(x)其中
\begin{aligned}
\begin{cases}
H_{\nu}^{(1)}(x) = J_{\nu}(x) + iN_{\nu}(x)\\\\
H_{\nu}^{(2)}(x) = J_{\nu}(x) - iN_{\nu}(x)
\end{cases}
\end{aligned}称为第三类柱函数，又称为汉克尔函数(Hankel function)
贝塞尔函数的性质
特殊点的值
\begin{aligned}
\lim_{x\rightarrow0}J_0(x) = 1,\lim_{x\rightarrow0}J_\nu(x) = 0,\lim_{x\rightarrow0}J_{-\nu}(x) = \infty,\lim_{x\rightarrow0}N_\nu(x) = \infty, \\\\
\lim_{x\rightarrow\infty}J_\nu(x) = 0,\lim_{x\rightarrow\infty}J_{-\nu}(x) = 0,\lim_{x\rightarrow\infty}N_\nu(x) = 0
\end{aligned}贝塞尔函数的递推公式
\frac{d}{dx}[x^vZ_v(x)] = x^vZ_{v-1}(x)\frac{d}{dx}[x^{-v}Z_v(x)] = -x^{-v}Z_{v+1}(x)常用推论
Z_{v+1}(x) = Z_{v-1}(x) - 2Z_v'(x)Z_{v+1}(x) = -Z_{v-1}(x) + \frac{2v}{x}Z_v(x)J'_0(x) = -J_1(x)[xJ_1(x)]'=xJ_0(x)xJ_1(x)=\int_0^x\xi J_0(\xi) d\xi